Feladat: F.2283 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/április, 157 - 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gömbi geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: F.2283

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legrövidebb útvonalon való repülés azt jelenti, hogy a mozgás pályája ‐ az a földi vonal, amely fölött a gép haladt ‐ a gömbnek tekintett Földön az a főkör, amelyet az OXF sík metsz ki (jelöl ki) a felületből; itt O Osló városát, F pedig a Föld középpontját jelöli. Ugyanis a gömbön a távolságot az FO és FX sugarak közti szöggel mérjük, és így OX=R⋅φ, ahol φ=OFX∢, radiánban értve, és R a Föld sugara (1 ábra).

 

1. ábra
 

Az OFX főkör S1 síkját az O, F pontok mellett az határozza meg, hogy a repülőgép nyugati irányban indult el, vagyis merőlegesen az észak-déli irányra, az Oslót az É Északi sarkkal összekötő délkörre, tehát az ezt tartalmazó OÉF=S2 síkra is merőlegesen. Így a pályasík is merőleges S2-re, hiszen az Osló-beli sebességvektor (és érintő) is S1-ben van, és ha egy sík tartalmaz egy olyan egyenest, amely merőleges egy másik síkra, akkor a két sík merőleges egymásra.
Továbbmenve azt jelenti ez, hogy S1-nek az S2-re való vetülete egyenes vonal. Mivel pedig F is az S1-ben van és S2-n való vetülete önmaga, ezért a repülőgép pályájának a vetülete rajta van az S2-beli délkörnek O-ból induló átmérőjén (2. ábra).
 

2. ábra
 

Merőleges S2-re az X-et tartalmazó Egyenlítő S3 síkja is, hiszen értelmezése szerint merőleges a Föld ÉF tengelyére és átmegy F-en; így az Egyenlítő vetülete az Osló-i délkörnek ÉF-re merőleges átmérője. Ezen is, OF-en is rajta van X-nek X' vetülete, ezért X' azonos F-fel, tehát az XF földsugár merőleges S2-re.
Ez pedig azt jelenti, hogy az X város XÉF(=S4) meridiánsíkja merőleges Osló meridiansíkjára, ahhoz képest 90∘-kal van elfordulva nyugat felé, tehát X nyugati hosszúsága |10∘43'-90∘|=79∘17'. Az Egyenlítőnek ez a pontja Quito ‐ Ecuador állam fővárosa ‐ közelében van.
 
Megjegyzések. 1. A válaszhoz nem volt szükség Osló földrajzi szélességére, eszerint ugyanez volna a válasz, ha Osló helyett meridiánjának bármely más pontját mondtuk volna, Lübeck-et, Augsburgot vagy az Angolá-hoz tartozó Cabindá-t, stb.
2. Ha adottak a síkon a P0, P1, P2,...,Pn-1, Pn pontok, akkor a háromszög-egyenlőtlenség alapján belátható, hogy a P0Pn szakasz hossza nem lehet nagyobb a P0P1, P1P2,...,Pn-1Pn, szakaszok hosszának összegénél. Ezért mondjuk azt, hogy két pont között legrövidebb út az egyenes. Aki itt arra gondol, hogy amikor a Pi-1, Pi pontokat szakaszokkal kötöttük össze, már burkoltan felhasználtuk az állítást, egészítse ki az állítást azzal, hogy az egyenes a csupa (és véges sok) egyenes darabból álló utak közt a legrövidebb. Akinek pedig ez kevés, gondoljon arra, hogy ha másféle utakra is ki akarja terjeszteni az állítást, akkor azoknak előbb definiálnia kell a hosszát. És amitől szabadulni szeretne, ismét visszatér, a görbék hosszát hozzájuk simuló törött vonalakkal szokás közelíteni.
Ezeket kell szem előtt tartania annak, aki a gömbön keresi két pont között a legrövidebb utat. Mondhatjuk azt, hogy két pont által meghatározott ,,szakasz''-nak a két ponton átmenő főkör rövidebb ívét tekintjük ‐ ha a két pont nem átellenes pontja a gömbnek. (Ha a pontok átellenesek, akkor nem definiáljuk a köztük futó ,,szakasz''-t.)
Vizsgáljuk meg, átvihető-e erre az esetre a síkbeli állítás. A pontok száma lépésről lépésre redukálható kettőre, ha már n=2 mellett beláttuk az állítást. Ez maga a háromszög-egyenlőtlenség, ami viszont arra vezethető vissza, hogy a háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Enyhe keveredésre vezet, hogy most a háromszögek oldalai is tulajdonképpen szögek, körívek, a háromszögek szögei pedig az oldalakhoz tartozó síkok szögei, ami ráadásul még nehezen is látható a térben. De talán éppen ezért lehet hasznos gyakorlat végiggondolni, mi menthető át a síkbeli háromszögek geometriájából a gömbi geometriába. Aki ezt teszi, tapasztalni fogja, hogy kényelmesebb általánosítani a bizonyítandó tételeket, és azt megmutatni, hogy levezethetőek egymásból anélkül, hogy a bennük szereplő fogalmak konkrét tartalmára hivatkoznánk, és az egyes geometriai elemek tulajdonságai közül többet használnánk fel, mint amit épp a szóban forgó tételek biztosítanak.
A síkbeli háromszög-egyenlőtlenségeket a szögfelezőre való tükrözéssel láthatjuk be: ha AC>BC, akkor a C-beli t szögfelezőre tükrözve B-t, az az AC szakaszra kerül.
 

3. ábra
 

Ha B új helyzetét B'-vel jelöljük, akkor már csak azt kell felhasználni, hogy az ABB' háromszög B'-beli külső szöge nagyobb az A-beli belső szögnél. A térben t-nek az AC, BC ,,oldalakat'' tartó félsíkok közti t szögfelező sík felel meg, B-t erre tükrözve valóban az AC ív belső B' pontját kapjuk.
 

4. ábra
 

Marad tehát annak eldöntése, hogy a külső szögre vonatkozó állítás igaz-e. Síkban több is igaz: a külső szög egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, a szögek összege 180∘. Ez viszont a gömbön már egyáltalán nem igaz: ,,kicsi'', síkszerű gömbi háromszögeknél még nem nagy az eltérés, dehát csak az átellenes párokat zártuk eddig ki. Érezhetően a párhuzamosok okozzák a zűrzavart, vagyis az, hogy a ,,szakasz''-ainkat tartó ,,egyenes''-ek két pontban is metszik egymást (3‐4. ábra).
Ez az a pont, ahol most abbahagyjuk a kérdés vizsgálatát. Talán hasznosabb, ha újabb feladatokat tűzünk ki a gömbi geometriával kapcsolatban.