Kezdőlap


Feladat:	F.2279	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bali J. , Böröczky K. , Halász P. , Heckenast L. , Megyeri L. , Mihálykó Cs. , Prok J. , Rónai Z. , Somogyi H. , Szabó E. , Szapanidisz J. , Weisz F.
Füzet:	1981/április, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: F.2279

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Milyen valós számokra lesz a

\begin{matrix} \sqrt[3]{x + \sqrt[]{x^{2} + 1}} + \sqrt[3]{x - \sqrt[]{x^{2} + 1}} \end{matrix}

(1)

kifejezés értéke egész szám ?
I. megoldás. Jelöljük az (1) kifejezés első tagját

A

-val, a másodikat

B

-vel

\begin{matrix} A = \sqrt[3]{x + \sqrt[]{x^{2} + 1}}, B = \sqrt[3]{x - \sqrt[]{x^{2} + 1}}, \end{matrix}

(2)

a kifejezés értékét pedig

C

-vel:

\begin{matrix} A + B = C . \end{matrix}

(3)

Mivel

A

és

B

szorzata minden

x

mellett

(- 1)

-gyel egyenlő, ezek a mennyiségek egy adott

x

mellett a

\begin{matrix} z^{2} - C z - 1 = 0 \end{matrix}

(4)

másodfokú egyenlet gyökei, mégpedig

A

a pozitív gyök, és

B

a negatív, hiszen

x

mindig kisebb

\sqrt[]{x^{2} + 1}

-nél. Megfordítva, a (4) egyenletnek minden

C

mellett két gyöke van, és közülük az egyik pozitív, a másik negatív, hiszen

C

kisebb

\sqrt[]{C^{2} + 4}

-nél.
Ezek szerint tetszőleges valós

C

-hez pontosan egy olyan

(A, B)

számpár tartozik, amelyre

A + B = C

A B = - 1

, és

B < 0 < A

is teljesül, és ez a számpár a következő:

\begin{matrix} A = \frac{C}{2} + \sqrt[]{{(\frac{C}{2})}^{2} + 1}, B = \frac{C}{2} - \sqrt[]{{(\frac{C}{2})}^{2} + 1} . \end{matrix}

(5)

Ha van olyan

x

, amelyre (2) teljesül az így megválasztott

A

B

számpárhoz, akkor a (2)-ből következő

\begin{matrix} A^{3} = x + \sqrt[]{x^{2} + 1}, B^{3} = x - \sqrt[]{x^{2} + 1} \end{matrix}

összefüggések miatt az csak az

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (A^{3} + B^{3}) \end{matrix}

(6)

szám lehet. Megmutatjuk, hogy ez mindig megfelel.
Lehet tehát

C

tetszőleges valós szám, és

A

B

x

legyenek a belőle (5) és (6) szerint előállított számok. Számítsuk még ki az

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} (A^{3} - B^{3}) \end{matrix}

számot, akkor

B < 0 < A

miatt

y > 0

, és

\begin{matrix} y^{2} - x^{2} = (y - x) (y + x) = - A^{3} B^{3} = + 1 \end{matrix}

miatt

y = \sqrt[]{x^{2} + 1}

, tehát a (6) szerint számolt

x

-re valóban teljesül (2). Mivel

A

és

B

(4) gyökei,

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (A^{3} + B^{3}) = \frac{1}{2} [{(A + B)}^{3} - 3 A B (A + B)] = \frac{1}{2} (C^{3} + 3 C) . \end{matrix}

Tehát az (1) alatti kifejezés értéke minden valós

C

számmal pontosan egy

x

mellett egyenlő, és ez az

x = \frac{1}{2} (C^{3} + C)

érték. Érvényes ez természetesen egész

C

-re is, és akkor mint az könnyen látható,

x

is egész.

II. megoldás. Jelöljük most is az adott kifejezés értékét

C

-vel. Az összeg két tagjának szorzata éppen

- 1

, tehát az

{(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)

összefüggés alapján

\begin{matrix} C^{3} = (x + \sqrt[]{x^{2} + 1}) + (x - \sqrt[]{x^{2} + 1}) - 3 C, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (C^{3} + 3 C) . \end{matrix}

(7)

Azt kaptuk tehát, hogy ha (1) kifejezés értéke a

C

szám, akkor

x

a (7) alakban írható. Azt állítjuk, hogy bármely egész

C

-re a (7) alatti

x

értékre az (1) kifejezés értéke egész szám lesz (nevezetesen éppen

C

). Ha ezt megmutattuk, akkor ezzel a feladat kérdésére is válaszoltunk: pontosan azokra az

x

valós számokra lesz (1) értéke egész, melyek a (7) alakba írhatók.
Az utóbbi állítás igazolásához legyen a (7) alatti

x

értékre az (1) kifejezés értéke éppen

D

. Ekkor

x

értéke (7) alapján

\frac{1}{2} (D^{3} + 3 D)

-vel is egyenlő. Az

x

-re kapott két érték különbsége

\begin{matrix} 0 = \frac{1}{2} (C^{3} + 3 C) - \frac{1}{2} (D^{3} + 3 D) = \frac{1}{4} (C - D) [C^{2} + D^{2} + {(C + D)}^{2} + 6], \end{matrix}

ahonnan

C = D

, ahogyan állítottuk.

Megjegyzés. A dolgozatok legtöbbjében a versenyzők megelégedtek azzal, hogy a (7) összefüggésig eljutottak, de nem igazolták, hogy bármely egész

C

esetén megfelelő

x

-hez jutunk. A (7)-t előállító levezetés ugyanis nem megfordítható; nem ekvivalens átalakításokat végeztünk, s így elképzelhető, hogy egy (7) által meghatározott helyen (1) nem

C

-t, hanem valamilyen más értéket vesz fel. Hogy ez nem így van, az külön bizonyításra szorul.