Kezdőlap


Feladat:	F.2269	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1981/január, 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Alakzatba írt kör, Deltoidok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: F.2269

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A B C D$ deltoidunk húrnégyszög, ezért az $A C$ szimmetriatengelye a körülírt körben átmérő, továbbá a $B$ csúcsnál levő szöge derékszög. Legyen még a körülírt kör középpontja $O$ , a beírt köré ‐ szintén a tengelyen ‐ $K$ , és legyen $K C < K A$ , sugaraik $1$ , illetve $r$ , végül a beírt kör érintési pontja az $A B$ oldalon $E$ , a $B C$ -n $F$ .

K E

K F

sugár párhuzamos a

B C

B A

oldallal, ezért

A K E

és

K C F

hasonló derékszögű háromszögek:

\begin{matrix} A E : K E = K F : C F, A E \cdot C F = K E \cdot K F = r^{2} . \end{matrix}

Az átfogók pedig

1 + r

, illetve

1 - r

, mert

O

rajta van a beírt körön és

K

O C

sugáron, így

\begin{matrix} A E \cdot C F = \sqrt[]{{(1 + r)}^{2} - r^{2}} \cdot \sqrt[]{{(1 - r)}^{2} - r^{2}} = \sqrt[]{(1 + 2 r) (1 - 2 r)} . \end{matrix}

Ezeket egybevetve

r^{2}

-re másodfokú egyenletet kapunk, és abból

\begin{matrix} 1 - 4 r^{2} = r^{4}, r = \sqrt[]{\sqrt[]{5} - 2} = 0, 4859, \end{matrix}

(

r^{2}

másik értéke negatív).
Most már a deltoid

A

csúcsánál levő

α

szögre

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \frac{r}{1 + r}, α = 38^{\circ} 10, 4', \end{matrix}

C

-nél levő szög ennek kiegészítő szöge.