|
Feladat: |
F.2260 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barla F. , Böröczky K. , Csere K. , Danyi P. , Erdős 205 J. , Feledi György , Fodor L. , Horváth 718 I. , Kántor Zs. , Kapos L. , Kappelmayer H. , Kiss 352 Gy. , Simonyi G. , Szegedy P. , Umann Gábor , Öreg E. Zs. |
Füzet: |
1980/december,
213 - 214. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számsorozatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/május: F.2260 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mondjuk jónak az párt a sorozatban, ha . A jó párok első tagját azok magasságának, második tagjukat a mélységüknek fogjuk nevezni. Addig megyünk előre a sorozatban, amíg a mélység nullára nem süllyed. Közben figyelni fogjuk a magasságok változását, ennek megkönnyítése érdekében kezdetben azt is feltesszük, hogy a mélység -nél nagyobb. Legyen tehát . Ebben az esetben és az pár akkor lesz újra jó, ha . Különben tehát az pár már biztosan jó. Az utóbbi esetben -nel, tehát legalább kettővel csökken a pár magassága. Az első esetben helyett lesz a magasság, az tehát csak akkor marad változatlan, ha közben a mélység nullára csökken. Amíg tehát a mélység felett marad, addig egy jó párt egy vagy két lépésben ismét jó pár követ, és közben a magasság rendre vagy legalább -gyel vagy legalább -vel csökken. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor ugyan jó pár, de benne . Most is igaz (2), és ha , akkor (3) is. Ha itt is teljesül, akkor érdemes tovább mennünk: most tehát is jó pár, és a magassága -vel kisebb magasságánál. Ha tehát a mélység -gyel egyenlő, ez három lépésben visszatér, és közben a magasság -vel csökken (feltéve persze, hogy közben nem értük el a -t). Ezek alapján azt kapjuk, hogy ha jó pár, és az első olyan jó pár a sorozatban, amelyben , akkor Ha , akkor miatt készen is vagyunk, különben pedig . Mint láttuk, most lépésben a magasság -ra csökken, tehát legkésőbb lépésben elérjük a nullát. Mivel | | ebben az esetben igaz a feladat állítása. Vizsgáljuk meg végül azt az esetet, amikor , vagyis nem jó pár. Ekkor ugyan miatt már jó pár lesz, tehát legfeljebb egy lépést veszthetünk, ez azonban éppen elegendő ahhoz, hogy a feladat állítása már ne legyen igaz, mint ahogy azt az eset mutatja, amikor is az első, nullával egyenlő tag a sorozatban. A feladat állítása tehát csak úgy igaz, ha benne az ,,-adik tag előtt'' helyett ,,legkésőbb -ig''-et mondunk.
Umann Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |
|