Kezdőlap


Feladat:	F.2246	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: F.2246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A C$ szakaszok hosszát rendre $a$ -val, $b$ -vel, $c$ -vel, $d$ -vel, $e$ -vel. Az $A B C D$ négyszög akkor és csakis akkor érintőnégyszög, ha $a + c = b + d$ , vagyis az $a - b$ és $d - c$ különbségek egyenlőek. Jelöljük ezek közös értékét $k$ -val; mivel $a$ , $b$ adott, $k$ -t is ismerjük:

\begin{matrix} a - b = d - c = k . \end{matrix}

(1)

Ez tehát annak a szükséges és elegendő feltétele, hogy

A B C D

érintőnégyszög legyen.
Az

A B C D

négyszög akkor és csakis akkor húrnégyszög, ha az

A B C

A D C

háromszögek

B

-nél,

D

-nél levő szögei egymást

180^{\circ}

-ra egészítik ki. Ez viszont pontosan akkor teljesül, ha a két szög koszinuszának az összege 0:

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2} - e^{2}}{2 a b} + \frac{c^{2} + d^{2} - e^{2}}{2 c d} = 0. \end{matrix}

(2)

Ha tehát találunk olyan

c

d

mennyiségeket, amelyekre teljesül (1) és (2), azokkal megfelelő négyszög szerkeszthető, és a keresett négyszög oldalaira ezek az egyenletek biztosan teljesülnek.

x_{1} = c

és

x_{2} = - d

ismeretlenek összege (1) szerint

- k

, és az

s = x_{1} x_{2}

szorzatukra (2) szerint

\begin{matrix} (k^{2} - 2 s - e^{2}) a b = s (a^{2} + b^{2} - e^{2}) \end{matrix}

teljesül, vagyis

\begin{matrix} s = a b \frac{{(a - b)}^{2} - e^{2}}{{(a + b)}^{2} - e^{2}} . \end{matrix}

(3)

Mivel

a

b

e

egy háromszög oldalai, így

| a - b | < e < a + b

, tehát (3) jobb oldalán a tört számlálója negatív, nevezője pozitív. Emiatt az

\begin{matrix} x^{2} + k x + s = 0 \end{matrix}

egyenletnek mindig két valós gyöke van, és közülük az egyik pozitív, a másik negatív. Esetünkben a pozitív gyök csak

x_{1} = c

, a negatív gyök csak

x_{2} = - d

lehet, tehát

\begin{matrix} c = - \frac{k}{2} + \sqrt[]{{(\frac{k}{2})}^{2} - s}, d = + \frac{k}{2} + \sqrt[]{{(\frac{k}{2})}^{2} - s}, \end{matrix}

ahol

k

értékét (1),

s

értékét (3) határozza meg. Mivel ezekre a mennyiségekre teljesül (1) és (2), a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.
A mondott számok mellett

k = - 20

\begin{matrix} {(\frac{k}{2})}^{2} - s = 100 - 20 \cdot 40 \cdot \frac{20^{2} - 49^{2}}{60^{2} - 49^{2}} = 1435, 1125, \\ c = 10 + 37, 88 = 47, 88, d = - 10 + 37, 88 = 27, 88. \end{matrix}