A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy már -szer végrehajtottuk a feladatban leírt eljárást. Legyen ekkor liter bor abban az edényben, amely eredetileg csak bort tartalmazott. Vizsgáljuk meg, hogy a következő át-, majd visszaöntés hogyan változtatja meg ezt a mennyiséget. A feltételek értelmében az átöntéskor liter bor kerül a másik edénybe, ahol már liter bor volt, s így most liter lett. A visszaöntéskor ennek része kerül vissza az ottmaradt liter borhoz, ezért liter bor lesz az első edényben. Ez nem más, mint , így Feladatunk tehát az, hogy ezzel a rekurziós formulával és az kezdőtaggal megadott végtelen sorozatnak a határértékét ‐ ha létezik ‐ kiszámítsuk. Próbáljuk az -edik tagot zárt alakban felírni. Az (1) formula ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy
A szögletes zárójelen belül mértani sor áll, melynek összege . Ennek alapján . Ha minden határon túl növekszik, zérushoz tart, így az sorozatnak is létezik határértéke, ami 1/2. Tehát az első edényben levő bor mennyiségének határértéke fél liter.
Szalay Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések. 1. A feladat megoldásához hozzá tartozott annak a megmutatása, hogy a keresett határérték létezik. Ha ezt már tudnánk, (1) alapján az sorozat határértéke kielégíti az összefüggést, azaz . Így ha létezik a határérték, akkor az . Azt azonban, hogy a határérték létezik, külön bizonyítani kell. 2. A dolgozatok elbírálása a következő szempontok alapján történt. Helyes: a kifogástalan dolgozatok. Hiányos: Helyes összefüggéseket írnak fel, de a végső következtetést elhamarkodják. a) Elegendőnek tartják a határértékként megadott mennyiségről megállapítani, hogy az alsó korlát. b) Kihasználják a határérték kiszámítása során a határérték létezését, de nem bizonyítják azt. Hibás: a) Számolási hiba miatt helytelen eredményt kapnak. b) Dolgozatukból az derül ki, hogy nincsenek tisztában a szükséges matematikai fogalmakkal. (L. L.)
|