Kezdőlap


Feladat:	F.2241	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szalay Péter
Füzet:	1980/november, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorok, Anyagok keverése és töltögetése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/február: F.2241

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy már $n$ -szer végrehajtottuk a feladatban leírt eljárást. Legyen ekkor $a_{n}$ liter bor abban az edényben, amely eredetileg csak bort tartalmazott. Vizsgáljuk meg, hogy a következő át-, majd visszaöntés hogyan változtatja meg ezt a mennyiséget.
A feltételek értelmében az átöntéskor $\frac{a_{n}}{10}$ liter bor kerül a másik edénybe, ahol már $1 - a_{n}$ liter bor volt, s így most $1 - 0, 9 a_{n}$ liter lett. A visszaöntéskor ennek $\frac{1}{11}$ része kerül vissza az ottmaradt $0, 9 a_{n}$ liter borhoz, ezért $0, 9 a_{n} + \frac{1 - 0, 9 a_{n}}{11}$ liter bor lesz az első edényben. Ez nem más, mint $a_{n + 1}$ , így

\begin{matrix} a_{n + 1} = \frac{9}{11} a_{n} + \frac{1}{11} . \end{matrix}

(1)

Feladatunk tehát az, hogy ezzel a rekurziós formulával és az

a_{0} = 1

kezdőtaggal megadott végtelen sorozatnak a határértékét ‐ ha létezik ‐ kiszámítsuk.
Próbáljuk az

n

-edik tagot zárt alakban felírni. Az (1) formula ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{1} = \frac{9}{11} + \frac{1}{11} \\ a_{2} = {(\frac{9}{11})}^{2} + \frac{9}{11} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \\ a_{3} = {(\frac{9}{11})}^{3} + {(\frac{9}{11})}^{2} \cdot \frac{1}{11} + \frac{9}{11} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \\ ⋮ \\ a_{n} = {(\frac{9}{11})}^{n} + [{(\frac{9}{11})}^{n - 1} + {(\frac{9}{11})}^{n - 2} + ... + \frac{9}{11} + 1] \cdot \frac{1}{11} . \end{matrix}

A szögletes zárójelen belül mértani sor áll, melynek összege

\frac{1 - {(\frac{9}{11})}^{n}}{1 - \frac{9}{11}}

. Ennek alapján

a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{9}{11})}^{n} + \frac{1}{2}

. Ha

n

minden határon túl növekszik,

{(\frac{9}{11})}^{n}

zérushoz tart, így az

a_{n}

sorozatnak is létezik határértéke, ami 1/2. Tehát az első edényben levő bor mennyiségének határértéke fél liter.

Szalay Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A feladat megoldásához hozzá tartozott annak a megmutatása, hogy a keresett határérték létezik. Ha ezt már tudnánk, (1) alapján az

a_{n}

sorozat

a

határértéke kielégíti az

a = \frac{9}{11} a + \frac{1}{11}

összefüggést, azaz

a = 1 / 2

. Így ha létezik a határérték, akkor az

1 / 2

. Azt azonban, hogy a határérték létezik, külön bizonyítani kell.
2. A dolgozatok elbírálása a következő szempontok alapján történt. Helyes: a kifogástalan dolgozatok. Hiányos: Helyes összefüggéseket írnak fel, de a végső következtetést elhamarkodják. a) Elegendőnek tartják a határértékként megadott mennyiségről megállapítani, hogy az alsó korlát. b) Kihasználják a határérték kiszámítása során a határérték létezését, de nem bizonyítják azt. Hibás: a) Számolási hiba miatt helytelen eredményt kapnak. b) Dolgozatukból az derül ki, hogy nincsenek tisztában a szükséges matematikai fogalmakkal. (L. L.)