Kezdőlap


Feladat:	F.2240	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/május, 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2240

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a gúla oldalélét $a$ , változó alapélét $b$ , magasságát, $m$ .

Pitagorasz tétele alapján gúlánkban

\begin{matrix} m = \sqrt[]{a^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{4}} = \frac{\sqrt[]{3 a^{2} - b^{2}}}{2}, \end{matrix}

így a térfogat:

\begin{matrix} V = \frac{a \cdot b \sqrt[]{3 a^{2} - b^{2}}}{6} . \end{matrix}

Ennek természetesen csak

b^{2} \leq 3 a^{2}

mellett van értelme.
Változtatva

b

értékét,

V

értéke akkor maximális, amikor a

{(\frac{6 V}{a})}^{2} = b^{2} (3 a^{2} - b^{2})

szorzat értéke maximális. Ez pedig ‐ mivel a két (pozitív) tényező összege állandó ‐, a számtani és mértani közepek közti nagyságviszony szerint sohasem nagyobb, mint

{(\frac{3 a^{2}}{2})}^{2}

, és egyenlőség áll be köztük, ha a két szám egyenlő:

b^{2} = 3 a^{2} - b^{2}, b = a \sqrt[]{\frac{3}{2}} = a \cdot 1, 225

.
Meg kell még vizsgálnunk, hogy

b = \sqrt[]{\frac{3}{2}} a

választással alkotható-e valóban a feladatnak megfelelő gúla. Ehhez a

2 a \geq b

háromszög egyenlőtlenségnek kell teljesülnie, ami a talált érték mellett teljesül is.