Kezdőlap


Feladat:	F.2239	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/május, 206 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2239

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög $C$ -nél levő szöge $120^{\circ}$ , továbbá a szögfelezőknek a háromszögbe eső szakaszai $A A', B B'$ és $C C'$ . Az $A' C' B' ∢ = 90^{\circ}$ állítás bizonyításához elég belátnunk, hogy a $C' B', C' A'$ szár rendre felezi az $A C' C$ , illetve $B C' C$ szöget.

Jelölje

B'

vetületét a

C C', C B, B A

egyenesen rendre

D, E, F

. Ekkor

B' D = B' E

, hiszen a háromszög

C

-nél levő külső szöge egyenlő a belső szög felével, másrészt

B'

definíciója révén

B' E = B' F

. Ezekből

B' D = B' F

, és ez igazolja állításunkat

C' B'

-re, és ugyanígy adódik, hogy

A' C' B ∢ = A' C' C ∢

. Ezzel bebizonyítottuk az állítást.

Megjegyzés. A szögfelező osztásarány-tételének megfordítására gondolva, tulajdonképpen azt találtuk, hogy ‐ esetünkben ‐ a

B' C : B' A

arány a

C' C : C' A

aránnyal is egyenlő, azon fölül, hogy

B'

szerkesztése alapján

B C : B A

-val mindig egyenlő. Tehát

C ∢ = 120^{\circ}

mellett

C' C : C' A = B C : B A

. Ez más számítás útján is belátható, tehát bizonyításként is szóba jön.