Kezdőlap


Feladat:	F.2238	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal K. , Bejczi F. , Beleznay F. , Benedek Ágnes , Berkes L. , Bognár P. , Bohus G. , Bölcsföldi L. , Csere K. , Czakó F. , Elek G. , Fodor L. , Gombás L. , Greschik Gy. , Heckenast L. , Horányi T. , Horváth 718 I. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Kelemen B. , Király Z. , Kiss 362 Gy. , Kiss E. , Kovács 134 I. , Kurusa Á. , Lerch A. , Simonyi G. , Slenker Gy. , Somogyi H. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Szirmay L. , Umann G. , Várkonyi B. , Viniczay Zs.
Füzet:	1980/szeptember, 10 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2238

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tükröket (végtelen) félsíkoknak gondoljuk, közös határoló egyenessel ‐ éllel ‐; a fényt az $α$ méretű lapszög tartomány belseje felé verik vissza. Fizikai szempontokat (energiaveszteség stb.) nem veszünk figyelembe.
A fénysugárnak az első visszaverés előtti $f_{0}$ pályáját ‐ útját ‐ merőlegesnek vesszük a tükörpár $e$ élére. (Lásd alább a megjegyzést.) Ebben a felfogásban a jelenség abban az $S$ síkban játszódik le, amely átmegy $f_{0}$ -on és merőleges $e$ -re, és leegyszerűsödik az egymással a szöget bezáró $E T$ és $E U$ tükröző félegyeneseken való visszaverődésekre. Jelöljük $V_{1}$ , $V_{2}$ , $...$ -vel a fénysugár egymás utáni visszaverődési pontjait (váltakozva $E T$ -n és $E U$ -n), továbbá $m$ -mel az adott $α$ -hoz a visszaverődések maximális számát.

Nevezzük ‐ a fizikai szokástól eltérve ‐

f_{0}

beesési szögének a

T V_{1} F_{0} = φ_{1}

szöget (

F_{0}

f_{0}

-nak egy, a

V_{1}

előtti pontja). Erre

0 < φ_{1} ≦ α

, különben nem ez volna az első visszaverődés (ti. amúgy az

E U

valamely pontja felől jönne

f_{0}

).
Legyen a visszavert

f_{1}

fénysugár egy (

V_{1}

utáni) pontja

F_{1}

, ekkor a visszaverődés törvénye szerint

E V_{1} F_{1} ∢ = φ_{1}

. Csak akkor nem jönne létre

E U

-n a

V_{2}

beesési pont, ha

α + φ_{1} ≧ 180^{\circ}

volna. De mivel

φ_{1}

minden értékére gondolunk, minden

α

-hoz választható olyan

φ_{1}

(és persze

E

-től különböző

V_{1}

is), amellyel létrejön

V_{2}

. És ekkor

f_{1}

beesési szöge a

V_{2} E V_{1}

háromszög külső szögeként

φ_{2} = V_{1} V_{2} U ∢ = α + φ_{1}

. Eszerint minden tekintetbe vett

α

-ra

m ≧ 2

.
Hasonlóan nem metszi

E T

-t a

V_{2}

-ben visszavert

f_{2}

fénysugár, ha

α + φ_{2} ≧ 180^{\circ}

, azaz

2 α + φ_{1} ≧ 180^{\circ}

. Ezt már

φ_{1}

megválasztásával sem háríthatjuk el, ha eleve

2 α ≧ 180^{\circ}

, azaz

\frac{180^{\circ}}{α} ≦ 2

. Másfelől ha

α + φ_{2} = φ_{3} < 180^{\circ}

, akkor létrejön

V_{3}

, és ott éppen

φ_{3} = α + φ_{2} = 2 α + φ_{1}

lesz a beesési szög.
Meggondolásunkat ismételgetve, akkor lesz maximális a visszaverődések száma,

m

, ha

V_{m}

még létrejöhetett alkalmas

φ_{1}

mellett, azaz

(m - 1) α + φ_{1} < 180^{\circ}

, tehát

\frac{180^{\circ}}{α} > m - 1

, de

V_{m + 1}

már nem jöhet létre, mert bármely

φ_{1}

mellett

m α + φ_{1} ≧ 180^{\circ}

amiatt, hogy

m α ≧ 180^{\circ}

, amiből

\frac{180^{\circ}}{α} ≦ m

. Szavakban: ha

\frac{180^{\circ}}{α}

egész szám, akkor mindjárt ez a visszaverődések számának maximálisa, különben pedig az őt közrefogó két egész szám közül a nagyobbik.
Ismerve az

[]

egészrész-függvény tulajdonságait, eredményünk képlet alakban így írható:

\begin{matrix} m = - [- \frac{180^{\circ}}{α}] . \end{matrix}

(Ezáltal a szokásoshoz közelebb jutunk a grafikonunk lépcsőinek jobb végpontjain, szokatlan helyzetben jelentkező ,,gombócok'' értelmezésében.)

Megjegyzések. 1. A bevezetett egyszerűsítéssel tulajdonképpen minden lehetséges fénysugármenetnek az

e

élre merőleges síkon való (merőleges) vetületét vizsgáltuk. Ez azért volt elég a kérdés megválaszolásához, mert egy térbeli alakzat akkor és csakis akkor létezik (= ábrázolható), ha a vetülete létezik.
Felmerülhet ez az aggály: az

S

-en vizsgált vetületünkben a felhasznált szögek nem a valódi nagyságukban mutatkoztak (nagyobbnak látszanak), ha

f_{0}

nem merőleges

e

-re; érvényesek-e tehát meggondolásaink? Igen, érvényesek. Ugyanis pl. a

V_{1}

-beli,

φ_{1}

nagyságú szögek megfelelői mindig egyenlők, továbbá ‐ a törvénynek eddig nem idézett része szerint ‐

f_{1}

,,benne marad'' abban a síkban, amelyet egyrészt a

V_{1}

-ben az első tükör síkjára állított merőleges, másrészt

f_{0}

határoz meg. Ennélfogva vetítésünk a két egyező szög ,,vetületeit'' is egyenlőknek mutatja.
Egyébként a

φ_{1}

szög csak segédszerepet játszott megoldásunkban; azért volt célszerű a használata, mert a kérdésben az

α

is szög. A fénysugár útját megrajzolni egyszerűbb úgy, hogy

F_{0}

-nak az első tükörre (ill.

E T

-re) való

F_{0}^{*}

tükörképéből indítunk félegyenest

V_{1}

-en át, majd

V_{1}

-nek vesszük a

V_{1}^{*}

tükörképét a második tükörre (

E U

-ra), és ebből irányítunk

V_{2}

felé s í. t. (A

V_{1}^{*}

V_{3}^{*}

...

és

V_{2}^{*}

V_{4}^{*}

...

képek

E T

-nek

E U

-ra való tükörképén sorakoznak, illetve

E U

-nak

E T

-re való képén.)
2. Tulajdonképpen a végtelenből jövőnek tételeztük fel a fénysugarat, de ez nem okoz változást a keresett számban. Előállítható

φ_{1} > α

is a két tükör közti fényforrással és alkalmas réssel, de így már eleve kevesebb a visszaverődések száma.