Kezdőlap


Feladat:	F.2237	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1980/november, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Különleges függvények, Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2237

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) feltétel megadja a függvényt a koordináta‐rendszer $y = x$ egyenletű egyenesén, (3) miatt az $x$ tengely mentén $f$ -nek csak 0 lehet az értéke, így a (2) feltétel miatt $f$ további értékeit elegendő a pozitív negyedsík $y < x$ feltétellel megadott felén meghatározni. Ha a harmadik feltételt

\begin{matrix} \frac{f (x, x + y)}{x + y} = \frac{f (x, y)}{y} \end{matrix}

(4)

alakban írjuk fel, láthatjuk, hogy a

\begin{matrix} g (x, y) = \frac{f (x, y)}{y} \end{matrix}

(5)

függvény rögzített

x

mellett

y

-ban periodikus, mégpedig

x

periódussal. Innen adódik a következő eljárás az

f

g

függvények értékeinek a meghatározására.
Ha valamely

0 < y < x

feltételeknek eleget tevő (

x

y

) helyen keressük a

g

függvény értékét, a (2) és (5) alapján kapott

\begin{matrix} g (x, y) = \frac{x}{y} g (y, x) \end{matrix}

összefüggés alapján ezt a kérdést először visszavezetjük

g (y, x)

meghatározására, majd az utóbbit a (4)-nek megfelelő

\begin{matrix} g (y, x) = g (y, x - y) \end{matrix}

összefüggés többszöri alkalmazásával

g (y, z)

meghatározására, ahol

z

x : y

osztás maradéka. Ha véletlenül

x

osztható

y

-nal, akkor menet közben azt kapjuk, hogy

g (y, x) = g (y, y) = 1

, tehát

g (x, y) = \frac{x}{y}

, ha nem, akkor tovább megyünk.
Ismerjük már a

g

függvény értékét azokon a helyeken, ahol az első koordináta osztható a másodikkal, a többi helyre pedig tudjuk, hogy

\begin{matrix} g (x, y) = \frac{x}{y} g (y, z), \end{matrix}

ahol

z

x : y

osztás maradéka. Vegyük észre, hogy ha most tovább megyünk, és az

y : z

osztás maradékát

v

-vel jelöljük, akkor

g (x, y) = \frac{x}{z} g (z, v)

, tehát a menet közben kapott számokat "el is felejthetjük''. Mivel a számaink fogynak, az eljárás biztosan véget ér, tehát előbb vagy utóbb olyan (

z

v

) helyre jutunk, ahol már

v

osztja

z

-t, esetleg

v = 1

. Akárhogy is van, azt kapjuk, hogy

g (x, y) = \frac{x}{v}

, ahol

v

az utolsó nem 0 maradék. Ismeretes, hogy eljárásunk az ún. euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó meghatározására, tehát a keresett függvény

f (x, y) = x y / v

, ahol

v

az (

x

y

) számok legnagyobb közös osztója. A kapott

x y / v

szám viszont nem más, mint az

x

y

számok legkisebb közös többszöröse, jelöljük ezt [

x

y

]-nal. Szokás szerint, ha

x

y

valamelyike 0, [

x

y

] értékét is 0-nak definiáljuk.
Ha tehát van a feltételeknek eleget tevő függvény, az csak

f (x, y) = [x, y]

lehet. Erre (1) és (2) nyilvánvalóan teljesül, belátjuk, hogy (3) is igaz rá. Jelöljük ismét

x

y

legnagyobb közös osztóját

v

-vel: ez lesz

x

és

x + y

legnagyobb közös osztója is, emiatt (3) az

\begin{matrix} \frac{(x + y) x y}{v} = \frac{y x (x + y)}{v} \end{matrix}

azonosságot jelenti. A mondott feltételeknek tehát egyetlen függvény tesz eleget, mely az argumentumaihoz azok legkisebb közös többszörösét rendeli. Nevezetesen

f (980, 1980) = 49 \cdot 1980 = 97 020