Kezdőlap


Feladat:	F.2235	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dohovics Károly
Füzet:	1980/május, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2235

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb és bal oldalon álló kifejezések különbségének $2 n (2 n - 1)$ -szerese

\begin{matrix} Δ = (2 n - 1) x^{2 n - 1} (x - 1) - x^{2 n - 1} + 1 = (x - 1) [(2 n - 1) x^{2 n - 1} - \frac{x^{2 n - 1} - 1}{x - 1}] . \end{matrix}

Ismeretes, hogy az

(x^{2 n - 1} - 1) / (x - 1)

hányados értéke egy

(2 n - 1)

tagú összeg, amelynek tagjai

x^{i}

alakúak, és bennük az

i

kitevő értéke 0-tól

(2 n - 2)

-ig fut. Osszuk ki ennek megfelelően a tört előtt álló

(2 n - 1)

tagot: mindegyik

x^{i}

elé éppen egy

x^{2 n - 1}

kerül. Az így keletkező

(x^{2 n - 1} - x^{i})

különbségekből megint kiemelhető

(x - 1)

. Mivel ez a már kiemelt

(x - 1)

-gyel együtt a nem negatív

{(x - 1)}^{2}

-t adja, és a visszamaradó hányadosok mind pozitív

x

hatványok összegei,

Δ

valóban nem negatív.

Dohovics Károly (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)