Kezdőlap


Feladat:	F.2233	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán L. , Beleznay F. , Bogdán A. , Bohus G. , Bölcsföldi L. , Csikós B. , Danyi P. , Dósa Gy. , Fodor L. , Görög I. , Hadarits Eszter , Heckenast L. , Horányi T. , Horváth 718 I. , Kámán L. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Kiss Gy. (Miskolc) , Kocsis J. , Kovács I. (Győr) , Lados P. , Markovits P. , Megyeri L. , Ódor T. , Resch Erzsébet , Sz. Nagy Cs. , Szabó Magda , Szalai J. , Szállási Z. , Szegedy P.
Füzet:	1980/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Diofantikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: F.2233

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a 4 egységnyi oldal végpontjait $Q$ -val, $R$ -rel, felezőpontját $O$ -val, a harmadik csúcsot $P$ -vel, $P$ -nek $Q R$ -en levő vetületét $T$ -vel. Feltehetjük, hogy $T$ -hez $Q$ , $R$ közül $R$ van közelebb, akkor

\begin{matrix} P R^{2} = y^{2} + {(x - 2)}^{2}, & (1) \\ P Q^{2} = y^{2} + {(x + 2)}^{2}, & (2) \end{matrix}

ahol

x = O T

y = P T

A második egyenletből kivonva az elsőt, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 (P Q + P R) = 8 x, \end{matrix}

hiszen

P Q - P R = 2

. Így a két összefüggés összege alapján

\begin{matrix} 8 x^{2} + 2 = 2 y^{2} + 2 x^{2} + 8, \end{matrix}

hiszen

2 P R^{2} + 2 P Q^{2} = {(P R + P Q)}^{2} + {(P R - P Q)}^{2}

. Olyan

x

y

számpárt keresünk tehát, amelyekre

\begin{matrix} 3 x^{2} = y^{2} + 3 \end{matrix}

(3)

teljesül: ha

y

egész, akkor

P Q R

területe is egész, hiszen ez

2 y

, és ugyancsak egész a

P Q

P R

oldalak hossza, hiszen (1) és (2) alapján

\begin{matrix} P R^{2} & = 4 x^{2} - 4 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2}, \\ P Q^{2} & = 4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2} . \end{matrix}

x

y

egészek, akkor (3) szerint

y

osztható 3-mal. Írjunk tehát

y

helyére

3 z

-t, így az

\begin{matrix} (x - z \sqrt[]{3}) (x + z \sqrt[]{3}) = 1 \end{matrix}

(4)

egyenletet kapjuk. Ez pozitív

x

z

mellett csak úgy teljesülhet, ha a bal oldalon mindkét tényező pozitív. Négyzetre emelve az egyenletet, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} [(x^{2} + 3 z^{2}) - 2 x z \sqrt[]{3}] [(x^{2} + 3 z^{2}) + 2 x z \sqrt[]{3}] = 1, \end{matrix}

ha tehát az

x

z

párra teljesül (4), a

\begin{matrix} X = x^{2} + 3 z^{2}, Z = 2 x z \end{matrix}

párra is teljesül, és ha

x

z

pozitív egészek, az

X

Z

pár tagjai is azok. Elegendő tehát egyetlen megoldást találni, ebből végtelen sok állítható elő, hiszen

x < X

miatt a fenti eljárással kapott gyökpárok különbözőek. Megfelel a feladat követelményeinek a 3, 4, 5 oldalú háromszög, erre

x = 2

y = 3

z = 1

. A feladatnak tehát végtelen sok megoldása van.

Megjegyzés. A kapott (4) egyenlet ún. Pell‐féle egyenlet, ezekről nemrég Fried Ervin írt cikksorozatot lapunkban: A Pell‐féle egyenletek megoldása I-VI. rész, KML 53. kötet 49‐52. oldal, 54. kötet 1‐3. és 193‐197. oldal, 55. kötet 55‐58. oldal, 56. kötet 1‐4. és 193‐197. oldal.