|
Feladat: |
F.2233 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán L. , Beleznay F. , Bogdán A. , Bohus G. , Bölcsföldi L. , Csikós B. , Danyi P. , Dósa Gy. , Fodor L. , Görög I. , Hadarits Eszter , Heckenast L. , Horányi T. , Horváth 718 I. , Kámán L. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Kiss Gy. (Miskolc) , Kocsis J. , Kovács I. (Győr) , Lados P. , Markovits P. , Megyeri L. , Ódor T. , Resch Erzsébet , Sz. Nagy Cs. , Szabó Magda , Szalai J. , Szállási Z. , Szegedy P. |
Füzet: |
1980/április,
154 - 155. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Diofantikus egyenletek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/december: F.2233 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a 4 egységnyi oldal végpontjait -val, -rel, felezőpontját -val, a harmadik csúcsot -vel, -nek -en levő vetületét -vel. Feltehetjük, hogy -hez , közül van közelebb, akkor
ahol , .
A második egyenletből kivonva az elsőt, kapjuk, hogy hiszen . Így a két összefüggés összege alapján hiszen . Olyan , számpárt keresünk tehát, amelyekre teljesül: ha egész, akkor területe is egész, hiszen ez , és ugyancsak egész a , oldalak hossza, hiszen (1) és (2) alapján
Ha , egészek, akkor (3) szerint osztható 3-mal. Írjunk tehát helyére -t, így az egyenletet kapjuk. Ez pozitív , mellett csak úgy teljesülhet, ha a bal oldalon mindkét tényező pozitív. Négyzetre emelve az egyenletet, azt kapjuk, hogy | | ha tehát az , párra teljesül (4), a párra is teljesül, és ha , pozitív egészek, az , pár tagjai is azok. Elegendő tehát egyetlen megoldást találni, ebből végtelen sok állítható elő, hiszen miatt a fenti eljárással kapott gyökpárok különbözőek. Megfelel a feladat követelményeinek a 3, 4, 5 oldalú háromszög, erre , , . A feladatnak tehát végtelen sok megoldása van. Megjegyzés. A kapott (4) egyenlet ún. Pell‐féle egyenlet, ezekről nemrég Fried Ervin írt cikksorozatot lapunkban: A Pell‐féle egyenletek megoldása I-VI. rész, KML 53. kötet 49‐52. oldal, 54. kötet 1‐3. és 193‐197. oldal, 55. kötet 55‐58. oldal, 56. kötet 1‐4. és 193‐197. oldal.
|
|