Kezdőlap


Feladat:	F.2231	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató M. , Beleznay F. , Benedek Ágnes , Bohus G. , Bölcsföldi L. , Csere K. , Czakó F. , Dénes L. , Dohovics K. , Dósa Gy. , Fekete Z. , Feledi Gy. , Gerencsér Gy. , Halász P. , Heckenast L. , Heizer A. , Horváth 302 A. , Kámán L. , Kántor Zs. , Kelemen B. , Király Z. , Kiss 352 Gy. , Kiss E. , Kurusa Á. , Lorencz Kinga , Madarász J. , Mészáros Gy. , Nagy Kolozsvári Á. , Osváth Z. , Poppe A. , Pöltl J. , Regős Enikő , Simonyi G. , Sz. Nagy Cs. , Szelényi Zs. , Szirmay L. , Tóth V. , Tranta Beáta , Umann G. , Várkonyi B. , Weisz F. , Zsilinszky L.
Füzet:	1980/október, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/január: F.2231

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az $(\frac{a_{i}}{{\sqrt[]{b}}_{i}} - {\sqrt[]{b}}_{i})$ különbségek négyzetösszegét:

\begin{matrix} 0 \leq \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{a_{i}}{{\sqrt[]{b}}_{i}} - {\sqrt[]{b}}_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}} - 2 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} . \end{matrix}

A mondott (1) feltétel szerint ezt nem csökkentjük, ha benne

\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}}

helyére a

\sum_{i = 1}^{n} b_{i}

összeget írjuk. Ezután a (2) jobb és bal oldalán álló összegek különbségének a kétszeresét kapjuk, tehát az nem negatív, amint azt bizonyítanunk kellett.

Megjegyzések. 1. Megoldható a feladat az ún. Cauchy‐Schwarz‐Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség felhasználásával is. Ez azt állítja, hogy tetszőleges

x_{1}

,...,

x_{n}

y_{1}

,...,

y_{n}

valós számokra

\begin{matrix} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}) . \end{matrix}

(Lásd például Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott fejezetek és tételek az elemi matematika köréből 1, 289. feladat.) A mi megoldásunk ennek az egyenlőtlenségnek a szokásos bizonyításán alapszik, annak ismeretében nem meglepő, hogy az

(a_{i} / {\sqrt[]{b}}_{i} - {\sqrt[]{b}}_{i})

különbségek négyzetösszegéből indulunk ki.
2. A feladat első kitűzése hibás volt. Ennek ellenére négyen: Csikós Zsolt, Elek Gábor, Szegedy Patrik és Sz. Nagy Csaba felismerte az eredeti állítást és közülük az első három igazolta is. Az összpontszám annak figyelembevételével alakult, hogy a helyes megoldás mellett az első kitűzésnél közölt-e jó ellenpéldát a megoldó. Így a teljes megoldás értéke 3‐4 pont lett. Hiányosnak tekintjük annak a dolgozatát, aki ellenpéldát közölt ugyan, de a jó kitűzés után nem küldött be teljes értékű megoldást (1‐2 pont).