|
Feladat: |
F.2227 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balázsi Ildikó , Beleznay F. , Csere K. , Feledi Gy. , Fodor L. , Horváth I. , Kappelmayer Hedvig , Kelemen B. , Kirchner I. , Kiss E. (Győr) , Kiss Gy. (Miskolc) , Kovács I. (Eger) , Pongrácz A. , Simonyi G. , Szegedy P. , Takáts L. (Sopron) , Umann G. |
Füzet: |
1980/május,
202 - 206. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat, Egyéb poliéderek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/november: F.2227 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A test lapjainak az a) követelményre tekintettel 3 vagy 4 vagy 5 oldaluk van. A d) előírás szemben fekvő oldalakról szól a c) szerinti lappal szomszédos lapokon ‐ vagyis legalább 3 lapon ‐, ezeken tehát páros, azaz 4 az oldalak száma. De akkor van további négyszöglap is, mert síklapokkal határolt testen a páratlan oldalszámú lapok száma páros ‐ ami itt már csak 2 vagy 0 lehet. Valóban, lapról lapra összeadva az oldalak számát, az összeg az élek számának 2-szerese, páros szám, ezért a páratlan összeadandók száma páros. Az és szimmetriasíkok merőlegesen állnak egymásra. Így ugyanis mindegyiknek a másikra való tükörképe önmaga, különben pedig ‐ akár párhuzamosak volnának, akár hegyes szöget zárnának be egymással ‐ -nek -re való tükörképe, az sík új, meg nem engedett szimmetriasík lenne (lásd a megjegyzést). Legyen és metszésvonala . Önmagába megy át a test akkor is, ha előbb -re, majd -re tükrözzük; az eredmény az, mintha elforgatjuk mint tengely körül -kal. Ezek szerint a test egy csúcsának, élének, lapjának általában 3 tőle különböző képe van, a tükrösen rokon elemek 4-esével felelnek meg egymásnak. Ha azonban egy csúcs vagy él benne van -ben, ha egy él vagy lap merőleges -re vagy , akkor ennek az elemnek arra a síkra való képe maga az illető elem, így csak a másik síkra való képe különböző tőle. Ha pedig a -n van rajta egy csúcs, illetve ha a -re merőleges egy él vagy egy lap síkja, ennek az elemnek nincs önmagától különböző képe. (Él nem lehet -ben a konvexség miatt.)
1. ábra
Nevezzük az ilyen szimmetrikus együtteseket röviden klikkeknek. (A szó hétköznapi jelentéséhez képest némi hasonlóság mutatkozik elemeik összetartozásában és mások kizárásában.) Esetünkben tehát a test minden egyes csúcsa, éle, lapja a szimmetria szempontjából vagy egy 4- vagy egy 2- vagy pedig egy 1-elemű klikkbe tartozik bele. Speciális esetek: 2-elemű lapklikk elemeiből a ,,másik'' sík szimmetriatengelyt metsz ki; hasonlóan a -re merőleges lapnak két szimmetriatengelye és szimmetriacentruma van. Szeleteljük végig a testet a -re merőleges síkokkal, a leírt szimmetriák e metszetekben is megmutatkoznak. (A tengelyt függőlegesnek tekintjük.) I. Vegyük elsőnek azt az esetet, ha -nek mindjárt az ,,első kontaktusában'' (meginduló helyzetében) egy lapot kapunk és a test közös részeként. Ez kéttengelyű idom, tehát négyszög, oldalai mentén csatlakoznak az lapok. 1. Ha téglalap ‐ vagyis csúcsai 4-elemű klikket alkotnak, élei pedig két 2-elemű klikket ‐, akkor az utóbbiak révén is két 2-elemű lapklikket alkot, az csúcsaiból induló harmadik élek pedig 4-elemű élklikket (1. ábra). (További él nem indulhat csúcsaiból, mert 1‐1 ilyen további 4 lapot jelentene.) Így az utolsó lap, klikkje ismét 1-elemű, ezért merőlegesen áll -re, tehát ez is négyszög és párhuzamosan áll -gyel. Eszerint síkjai párhuzamos élekben metszik és síkját, az lapok trapézok, pedig szintén téglalap. Mindez csak úgy egyeztethető össze a méretkövetelményekkel, hogy a c) és e) lapok , és , a -lapok pedig szimmetrikus trapézok, száraik 9 egységnyiek; a test csonkagúlaszerű. Valóban csonkagúlát kapunk a egyenlőség alapján, ha a két téglalap hosszú oldalai állnak párhuzamos párokban, mert ekkor a trapézszárak meghosszabbításai -ben metszik egymást. Az alapokra való vetületük hossza a párhuzamos lapok távolsága egység, a térfogat az ismert képlet szerint 624 térfogategység (2. ábra).
2. ábra
Ha a -as kis alapot úgy állítjuk, hogy 4-es oldala a nagy alap 20-as oldalával legyen párhuzamos, akkor a párhuzamos lapok távolsága hasonló számítással 4 egység. Két-két szomszédos oldalél páronként metszi egymást, de már hármuknak sincs közös pontjuk. A -as alap élein átmenő (függőleges) síkokkal 9 részre darabolva a testet, közülük 1 téglatest lesz, 4 rész gúla, egybevágók, alapjuk téglalap (ez is egy klikk), és 4 rész az oldallapján fekvő 3 oldalú hasáb (páronként egybevágók, alaplapjaik derékszögű háromszögek). E részek összegeként a térfogat egység, kisebb az előbbinél (3. ábra).
3. ábra
4. ábra
2. Lényegében ugyanígy kapjuk, hogy a szimmetriakövetelményt az olyan 6 lapú testek is teljesítik, amelyeknek és lapja rombusz, lapjai egy klikket alkotnak; az ilyen testeken azonban legföljebb 4 különböző élméret fordulhat elő (ezek is csonkagúlák, 4. ábra). II. Milyen testek jönnek szóba, ha első kontaktusában egy élt kapunk ? Ez 1-elemű klikk, legyen a rajta átmenő szimmetriasík ; végpontjai 2-elemű klikket alkotnak, a belőlük induló 2‐2 él, valamint másik végpontjaik 4-eleműt (5a ábra). Negyedik él nem futhat ki végpontjaiból, mert az ilyenek -ben lennének, az két oldalán 3‐3 lapú testek jönnének létre csupa háromszöglapokkal. A kettős 3 oldalú szabályos gúlát az is kizárja, hogy szimmetriasíkja van (6. ábra). További, 5-élű stb. válfajok elképzelésének is a lapok 6-os száma szab korlátot.
5. ábra
6. ábra
Nem lehet, hogy az 5a. ábra 4 ,,befejezetlen'' csúcsa egy lapban legyen, vagyis az általuk meghatározott téglalap mindegyik oldala él legyen, mert így 5 lapunk lenne csak; de az sem, hogy a velük meghatározott téglalap egyik oldala sem él ‐ hanem csupán lapbeli átló ‐, mert emígy az eddig megkezdett 4 lapot ismét nem lehetne 2 lappal befejezni. (Gondolja át az olvasó !) Ha viszont két oldalt tekintünk élnek a téglalapból, ennek mindkét befejezése lehetséges (a további csúcsok -ben). Feladatunkban azonban nem felelnek meg, mert négyszöglapból csak 2 van rajtuk (5b és c ábra, utolsó metszete is él, a 2 eredmény lényegében azonos). III. Nem felel meg olyan test sem, amilyet abból a kiindulásból kapunk, hogy a metsző sík kiinduló helyzetében csak egy csúcsot tartalmaz a testből ‐ de ez ismét csak az élméreteken múlik. Ismét kettéválik vizsgálatunk az ,,utáni'' metszetek téglalap, ill. rombusz volta szerint ‐ így mindenképpen 4-élű csúcs. 1. Tekintsük az első olyan téglalap-metszetet, amelyben van további csúcsa a testnek. Ez 4-elemű klikkbe tartozik, és ennek a téglalapnak ismét csak 2 szemben levő oldala lehet él. Ezek 2 egyenlő szárú háromszöget zárnak le, tovább pedig 4 négyszöglap adódik, ebből 2 tengelyszimmetrikus trapéz, 2 deltoid (esetleg rombusz). A 10 és 20 élméreteket a háromszögekre téve, egyikük megismétlődik a deltoidok 2 szomszédos oldalán, tehát azokon nem helyezhető el két 9 egységnyi élhossz; a négyszöglapok közül pedig egyiket sem csupa páros oldalszámú lap veszi körül (7. ábra).
7. ábra
8. ábra
Az utáni rombusz-metszetek esetében a -ből kifutó élek az -kben vannak, -ben 4 elemű lapklikk fut össze. Emiatt csak négyszögekről lehet szó, az -ken kívüli 8 befejezetlen élükhöz való csatlakozásra ismét kevés a 2 hátra levő lap (8. ábra). Minden szóba jött testtípust számba vettünk és közben a legnagyobb térfogatú testet is megadtuk. Megjegyzések. 1. A szimmetriasíkok merőleges állását elég belátni a -re merőleges síkon kimetszett és szimmetriatengelyeken. Valóban, tükrözve egy pontot, valamint -re való képét a -re, a keletkező és képek különbözők és egymásnak is képei a -re nézve (9. ábra).
9. ábra
2. A különböző típusú (ún. topológiailag különböző) konvex 6-lapú testek száma 7, ezek különböző típusú lapjainak, csúcsainak számát, szimmetriasíkjainak, tengelyeinek legföljebb lehetséges számát az alábbi táblázat mutatja. Az ebben az értelemben egymástól különböző konvex 7-lapok típusainak száma már több, mint 30; ott az ilyen létszámok már nem is elegendőek a típusok megkülönböztetésére.
|
|