Kezdőlap


Feladat:	F.2224	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Regős Enikő
Füzet:	1980/május, 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: F.2224

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználva a $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ összefüggést, az egyenlet

\begin{matrix} {(sin x - cos y)}^{2} + {(sin y - cos z)}^{2} + {(cos x - sin z)}^{2} = 0 \end{matrix}

alakba írható. Ez nyilván csak úgy teljesülhet, ha mindegyik összeadandó nulla, azaz

\begin{matrix} sin x = cos y, sin y = cos z, cos x = sin z . \end{matrix}

(2)

Ezeket az összefüggéséket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} sin^{2} x + cos^{2} z + sin^{2} z = 3 / 2, \end{matrix}

azaz

sin^{2} x = 0, 5

. Hasonlóan

sin^{2} y = sin^{2} z = 0, 5

és ezért

cos^{2} x = cos^{2} y = cos^{2} z = 0, 5

. Az ennek eleget tevő

x, y, z

számhármasok közül azok lesznek

(1)

megoldásai, amelyek még

(2)

-t is kielégítik, azaz a következő nyolc lehetőségünk van:

\begin{matrix} sin x & cos x & sin y & cos z & sin z & cos x & x & y & z \\ \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & π / 4 & π / 4 & π / 4 \\ \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & 3 π / 4 & π / 4 & 7 π / 4 \\ \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & π / 4 & 7 π / 4 & 3 π / 4 \\ - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & 7 π / 4 & 3 π / 4 & π / 4 \\ \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & 3 π / 4 & 7 π / 4 & 5 π / 4 \\ - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & 5 π / 4 & 3 π / 4 & 7 π / 4 \\ - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & \sqrt[]{0, 5} & 7 π / 4 & 5 π / 4 & 3 π / 4 \\ - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & - \sqrt[]{0, 5} & 5 π / 4 & 5 π / 4 & 5 π / 4 \end{matrix}

x, y, z

értékekhez még (egymástól függetlenül)

2 π

tetszőleges egész számú többszörösét hozzáadhatjuk.

Regős Enikő (Budapest, Fazekas M. Gyak., Gimn., II. o. t.)