A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Mutatunk egy eljárást, ami a kártyákat dobozba teszi. Minden kártyáról töröljünk le egy jegyet úgy, hogy a megmaradt számjegy összege páros legyen (a törlés egyébként tetszőleges), majd tegyük a kártyát abba a dobozba, amelynek száma az így kapott kétjegyű szám. Ezt a törlést minden kártya esetén megtehetjük, ugyanis ‐ ha a számjegy összege páros, akkor van köztük páros jegy, ezt letörölve a maradék két számjegy összege páros lesz; ‐ ha a számjegy összege páratlan, akkor van a jegyek közt páratlan, ha ezt letöröljük, a maradék számjegyek összege páros lesz. Mivel a , számoknak pont a felében páros a számjegyek összege (ui. egy egyértelmű megfeleltetés létesíthető a páros és páratlan számjegyösszegű számok közt így: , ahol egy olyan szám, melynek első jegye , második ), valóban dobozba raktuk a kártyákat. 2. Bebizonyítjuk, hogy kevesebb doboz nem elég. Tegyük fel, hogy a kártyákat a feltételnek megfelelően betettük a dobozokba. Osszuk a db dobozt db -es csoportba úgy, hogy minden csoportban az első számjegyek azonosak legyenek (így tehát pl. A , , egy csoportot alkot). Tekintsük azt az , , csoportot, amelyben a legtöbb: db üres doboz van. Legyenek az üres dobozok számai , . Figyeljük meg, hogy ekkor az összes és , lehet egyenlő is) számú kártya ‐ mivel az , dobozok üresek ‐ csak az dobozba tehető, azaz az összes doboz nem üres. Ilyen feliratú dobozból nyilván db van. Tekintsük azokat a csoportokat, amelyekben a felirat első jegye nem , ilyen csoport db van. Ezekben a csoportokban ‐ mint minden csoportban ‐ legalább db nem üres doboz van, hiszen megválasztása miatt -nál több üres doboz nem lehet egy csoportban sem. Tehát ezekben a csoportokban összesen legalább db nem üres doboz van. Az előbb talált és a most talált nem üres doboz közt nincs átfedés, hiszen első jegyeik biztosan különböznek. Ezzel beláttuk, hogy összesen legalább nem üres doboz van. Ez nem lehet kisebb -nél, hiszen Szegedy Patrik (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |