Kezdőlap


Feladat:	F.2206	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bukta Gy. , Bölcsföldi L. , Erdélyi Tamás , Fodor L. , Gát Gy. , Gulácsi F. , Hajnal P. , Kántor Zs. , Kiss 352 Gy. , Mala J. , Márkus L. , Németh R. , Pátkai Andrea , Pintér 395 F. , Ruisz T. , Schwarcz P. , Szegedy P. , Szeles J. , Umann G. , Varga Lívia , Varga T. , Öreg E. Zs.
Füzet:	1979/november, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: F.2206

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk, hogy $\sum_{i = 1}^{n} | cos α_{i} | \leq n - 1$ , ebből már (2) következik. Ugyanis felhasználva a háromszög egyenlőtlenség segítségével könnyen igazolható $| sin α | + | cos α | \geq 1$ összefüggést

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} sin α_{i} = \sum_{i = 1}^{n} | sin α_{i} | \geq n - \sum_{i = 1}^{n} | cos α_{i} | \geq n - (n - 1) = 1. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy ellenkezőleg,

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} | cos α_{i} | > n - 1 \end{matrix}

teljesül. Mivel

0 \leq | cos α_{i} | \leq 1

, azért az

x_{i} = 1 - | cos α_{i} |

számra

0 \leq x_{i} \leq 1

, és így

\begin{matrix} n - 1 < \sum_{i = 1}^{n} | cos α_{i} | = \sum_{i = 1}^{n} (1 - x_{i}) = n - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \leq n, \end{matrix}

vagyis

0 \leq \sum_{i = 1}^{n} x_{i} < 1

, és így

\begin{matrix} - 1 < \sum_{i = 1}^{n} \pm x_{i} < 1 \end{matrix}

(3)

tetszőleges előjelkombinációra. Ha a

cos α_{i}

számok között éppen

k

pozitív van akkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (1 + cos α_{i}) = \sum_{cos α_{i} > 0}^{} (2 - x_{i}) + \sum_{cos α_{i} < 0}^{} x_{i} = 2 k + \sum_{i = 1}^{n} \pm x_{i} . \end{matrix}

Ellentmondáshoz jutottunk, mert (3)-at figyelembe véve (1) nem lehet páratlan egész szám.

Erdélyi Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)