Kezdőlap


Feladat:	F.2186	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/szeptember, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: F.2186

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a három kör középpontját $O_{1}$ -gyel, $O_{2}$ -vel, $O_{3}$ -mal, sugaraikat $r_{1}$ -gyel, $r_{2}$ -vel, $r_{3}$ -mal, magukat a köröket pedig $k_{1}$ -gyel, $k_{2}$ -vel, $k_{3}$ -mal. Keressük meg először a síkon mindazokat a $P$ pontokat, amelyekből $k_{1}$ és $k_{2}$ egyenlő szög alatt látszik. A keresett pontok közé tartozik a két kör közös belső érintőinek $B$ metszéspontja, hiszen a $B$ -hez tartozó két látószög a $B$ centrumra nézve tükrösen helyezkedik el. Ha $P$ a vizsgált mértani hely tetszőleges pontja, és $E_{1}$ , $E_{2}$ a $P$ -ből $k_{1}$ -hez, $k_{2}$ -höz húzott érintők érintési pontjai, a $P O_{1} E_{1}$ , $P O_{2} E_{2}$ háromszögek derékszögűek, és $P$ -nél levő szögük egyenlő. Emiatt ezek a háromszögek hasonlóak, és

\begin{matrix} P O_{1} : P O_{2} = r_{1} : r_{2}, \end{matrix}

(1)

vagyis a keresett pontoknak az

O_{1}

O_{2}

középpontoktól mért távolságának aránya egyenlő a sugarak arányával. Megfordítva, ha valamely

P

pontra teljesül (1), akkor

P

nem lehet sem

k_{1}

, sem

k_{2}

belső pontja, és a

P

-ből

k_{i}

-hez húzott érintők

E_{i}

érintési pontjára

i = 1, 2

mellett (1) a

P O_{1} E_{1}

P O_{2} E_{2}

derékszögű háromszögek hasonlóságát biztosítja, amiből pedig a látószögek egyenlősége következik. Így a

B

pontra

\begin{matrix} B O_{1} : B O_{2} = r_{1} : r_{2} . \end{matrix}

(2)

r_{1} = r_{2}

, az (1) feltételnek eleget tevő pontok az

O_{1} O_{2}

szakasz felező merőleges egyenesén vannak. Tegyük fel például, hogy

r_{1} < r_{2}

, és legyen

P

a vizsgált mértani hely tetszőleges, de nem az

O_{1} O_{2}

centrálison levő pontja. A

P O_{1} O_{2}

háromszög

P

-beli belső szögfelezőjének az

O_{1} O_{2}

szakasszal alkotott

B^{*}

metszéspontjára

\begin{matrix} B^{*} O_{1} : B^{*} O_{2} = P O_{1} : P O_{2} = r_{1} : r_{2} = B O_{1} : B O_{2} \end{matrix}

teljesül, így az nem lehet más, mint a

B

pont. Ha

O_{1}

-et a

P B

szögfelezőre tükrözzük a

B

körüli,

O_{1}

-en átmenő

b

kör

O_{1}^{*}

pontját kapjuk, ami ugyanakkor a

P O_{2}

szakaszon is rajta van. Jelöljük

b

-nek

O_{1}

-gyel átellenes pontját

A

-val, mivel

A O_{1}^{*}

is,

P B

is merőleges

O_{1} O_{1}^{*}

-ra,

A O_{1}^{*}

párhuzamos

P B

-vel. Továbbá

\begin{matrix} O_{2} O_{1}^{*} : O_{2} P = A O_{2} : B O_{2} = (r_{2} - r_{1}) : r_{2} . \end{matrix}

Eszerint a keresett mértani helyet az

O_{2}

centrumból

(r_{2} - r_{1}) : r_{2}

arányban kicsinyítve a

b

kör pontjaihoz jutunk. Megfordítva, ha

O_{1}^{*}

b

kör tetszőleges,

A

-tól,

O_{1}

-től különböző pontja, a belőle az

O_{2}

centrumú,

r_{2} : (r_{2} - r_{1})

arányú nagyítással kapott

P

pontra

P B ∥ 0_{1}^{*} A

miatt

P B ⊥ O_{1} O_{1}^{*}

, és így

\begin{matrix} P O_{1} : P O_{2} = P O_{1}^{*} : P O_{2} = r_{1} : r_{2}, \end{matrix}

tehát

P

a mértani hely pontja. Nagyítsuk hát ki az

O_{2}

centrumból

r_{2} : (r_{2} - r_{1})

arányban a

b

kört, és megkapjuk a keresett mértani helyet. Állításunkat már csak az

O_{1}

-ből származó

K

pontra kell ellenőrizni, ami

P K ⊥ P B

miatt egyben az

O_{1} O_{2} P

háromszög

P

-beli külső szögfelezőjének is pontja. Így

K O_{1} : K O_{2} = = P O_{1} : P O_{2}

, tehát valóban teljesül rá (1). Mivel

r_{1} < r_{2}

mellett a

k_{1}

k_{2}

körök külső érintői is metszik egymást, és e metszéspont a mértani helyhez tartozik,

K

nem lehet más, mint a külső érintők metszéspontja, és a vizsgált mértani hely a

B K

szakasz feletti Thalész-kör.
Jelöljük

m_{12}

-vel a kapott mértani helyet, és legyen

m_{23}

k_{2}

k_{3}

körökhöz tartozó mértani hely. Ez tehát

r_{2} = r_{3}

esetén az

O_{2} O_{3}

szakasz felező merőleges egyenese, különben a

k_{2}

k_{3}

körök belső és külső hasonlósági centruma feletti Thalész-kör. Ha az

m_{12}

m_{23}

mértani helyeknek nincs közös pontjuk, akkor a feladatnak nincs megoldása. (Könnyen található példa, amikor ez valóban előfordul.) Ha

P

a két mértani hely közös pontja, ebből

k_{1}

és

k_{3}

is ugyanakkora szög alatt látszik, mint

k_{2}

, ez tehát a feladatnak is megoldása. Mivel

m_{12}

m_{23}

vagy kör vagy egyenes, közös pontjaik száma

0

vagy

1

, vagy

2