Kezdőlap


Feladat:	F.2180	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/április, 163. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Háromszög alapú hasábok, Koszinusztétel alkalmazása, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: F.2180

A B C A_{1} B_{1} C_{1}

szabályos háromoldalú hasáb

A A_{1}

oldaléle merőleges az

A B C

alapra és kétszer olyan hosszú, mint az alapidom magassága. Határozzuk meg az

A B_{1}

és

B C_{1}

egyenesek szögét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B_{1}$ és $B C_{1}$ egyenesek kitérők. Szögüket jobban szemlélhetjük és a helyzet számításra is alkalmassá válik, ha $B_{1}$ -en át meghúzzuk a párhuzamost $C_{1} B$ -vel. Más szóval azt jelenti ez, hogy $C_{1} B$ -t a $C_{1} C B$ oldallap síkjában eltoljuk a $\vec{C_{1} B_{1}}$ -ral a $B_{1} B'$ helyzetbe.

Ekkor

A B'

nyilvánvalóan

2

-szer akkora, mint az alapháromszög magassága, vagyis

a \sqrt[]{3}

‐ amennyi a

B B_{1}

oldalél ‐

C B' B_{1}

pedig

2 a

oldalú szabályos háromszög. Az

A B_{1} B'

háromszögből a cosinustétel alkalmazásával

\begin{matrix} cos {A B}_{1} B' ∢ = \frac{B_{1} A^{2} + B_{1} B'^{2} - A B'^{2}}{2 B_{1} A \cdot B_{1} B'} = \frac{5}{8}, \end{matrix}

a keresett szög

51^{\circ} 19'

Megjegyzés. Elvileg egyenértékű a fentivel a szög síkbeli előállítása, ha

B C_{1}

-et a

\vec{B B_{1}}

-ral toljuk el, de a számítás valamivel hosszabb.