Kezdőlap


Feladat:	F.2175	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hajnal Péter , Tóth Viktor
Füzet:	1979/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Fizikai jellegű feladatok, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: F.2175

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje $x$ a pohárban levő víz, $h$ pedig a súlypont cm-ben mért magasságának mérőszámát. A víz fajsúlyát $1 {pond/cm}^{3}$ -nek véve, $h$ -t a fizikában tanultak alapján a következőképpen írhatjuk fel:

\begin{matrix} h = \frac{20 x \cdot \frac{x}{2} + 200 \cdot 4, 8}{20 x + 200} cm = \frac{x^{2} + 96}{2 (x + 10)} cm . \end{matrix}

Feladatunk annak meghatározása, hogy mely

x \geq 0

érték esetén lesz

h

a lehető legkisebb. A feladatot differenciálszámítás felhasználásával oldjuk meg. A

h = h (x)

függvény

x

szerinti első deriváltja:

\begin{matrix} h' = \frac{2 x (2 x + 20) - 2 (x^{2} + 96)}{4 {(x + 10)}^{2}} = \frac{(x - 4) (x + 24)}{2 {(x + 10)}^{2}} . \end{matrix}

Megállapíthatjuk, hogy a derivált függvény

0 \leq x < 4

esetén negatív,

x > 4

esetén pedig pozitív. A számláló képe ugyanis olyan felfelé nyíló parabola, amelynek zérushelyei

- 24

és

4

, a nevező pedig

x \geq 0

mellett mindig pozitív.
Ez azt jelenti, hogy a

h

függvény a

0 \leq x < 4

intervallumban szigorúan monoton fogyó, a

4 < x < \infty

intervallumban viszont szigorúan monoton növekedő. Ezért a

h = h (x)

függvény a

0 \leq x < \infty

intervallumbeli legkisebb értékét az

x = 4

helyen veszi fel. Tehát

4 cm

-es vízmagasság esetén lesz a súlypont a legalacsonyabban.
A

h (x)

legkisebb értéke szintén

4

-nek adódik, vagyis a súlypont éppen a víz felszínére esik, amikor a legalacsonyabban van.

Hajnal Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A

h = h (x)

függvény minimumhelyét többféle módon meghatározhatjuk differenciálszámítás alkalmazása nélkül is: pl. a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján, vagy a másodfokú egyenlet diszkriminánsával való okoskodással. Ezeknek a matematikai módszereknek alkalmazása során lényegtelen, hogy mi a vizsgált függvény konkrét fizikai jelentése. Jelen feladatunkra viszont egy olyan megoldást is adhatunk, amely szorosan a feladat fizikai tartalmához kapcsolódik.
Az I. megoldásból ismert eredményben figyelemre méltó, hogy a súlypont a víz felszínére esik, amikor a legalacsonyabban van. Nos, ez nem véletlen. Ugyanis mindaddig, amíg a vizet a súlypont alá töltjük, a súlypont magassága állandóan csökken, mihelyt azonban a súlypont találkozik a víz felszínével, az újabb vízmennyiség a súlypontot emelni fogja, de persze úgy, hogy a súlypont a víz felszíne alatt marad. Ennek alapján a keresett vízmagasság egyszerűen az

\begin{matrix} \frac{x^{2} + 96}{2 (x + 10)} = x \end{matrix}

egyenletből számítható ki az

x \geq 0

feltétel mellett.

Tóth Viktor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A pohár falvastagságát alul elhanyagoltuk. Eredményünk vastag falú pohár esetén is helyes, ha a súlypont magasságát a pohár aljának belső felületétől mérjük.