Kezdőlap


Feladat:	F.2162	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Szögfüggvények a térben, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: F.2162

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat kissé burkoltan föltett kérdése világosabban a következőképpen hangzik. Hány számszerű adat elegendő a vázolt alakzat meghatározásához, ti. azon felül, hogy a tornyokat függőleges szakaszokká absztraháljuk. Kétféleképpen mutatjuk meg, hogy az $5$ méret közül $4$ elegendő, mindkét mód mellett kényelmesen a szögek valamelyikét hagyjuk figyelmen kívül, és a maradék adatrendszerből számítjuk a mellőzött méretet. Egyik eredmény sem egyezik a kitűzés megfelelő adatával, ebből következik, hogy a helyes válasz: nem lehetséges a kérdéses méret.
Legyen mindkét megoldásban az alacsonyabbik torony talppontja $A$ , csúcsa $B$ , a másikéi rendre $C$ és $D$ , továbbá $A$ és $B$ vetülete a $C D$ egyenesre $E$ , ill. $F$ . Így a méretek (méterben): $A B = 42$ , $C D = 56$ , $E C = 10$ , továbbá $A D B ∢ = δ = 16^{\circ}$ és $α = E A C ∢ = 20^{\circ}$ (1. ábra).

1. ábra

I. megoldás. Hagyjuk figyelmen kívül a

δ = 16^{\circ}

méretet. Ekkor

e = A E = B F = E C ctg α = 27,47

\begin{matrix} tg B D F ∢ = tg δ_{1} = \frac{e}{D F}, tg A D E ∢ = tg δ_{2} = \frac{e}{D E}, & (1) \\ B D A ∢ = δ_{1} - δ_{2} = 48, 9^{\circ} - 22, 6^{\circ} = 26, 3^{\circ} . \end{matrix}

Ez olyan mértékben különbözik a megadott látószögtől, amit nem lehet a részletszámítások pontatlanságával magyarázni.

II. megoldás. Tartsuk meg a hosszúságméreteket a látószöggel együtt, és számítsuk ki egyelőre a tornyok egyeneseinek előbbi

e

távolságát. (1) felhasználásával

\begin{matrix} ctg B D A ∢ = & \frac{ctg A D E ∢ \cdot ctg B D E ∢ + 1}{ctg A D E ∢ - ctg B D E ∢} = \frac{\frac{24 \cdot 66}{e^{2}} + 1}{\frac{66}{e} - \frac{24}{e}} = \\ = & \frac{1584 + e^{2}}{42 e} = ctg 16^{\circ}, \\ e^{2} - (42 ctg 16^{\circ}) \cdot e + 1584 = 0, \\ e_{1} = 134,7 e_{2} = 11,76. \end{matrix}

2. ábra

Végül ezekből

tg E A C ∢ = 10 / e_{1}

, ill.

10 / e_{2}

-ből az

E A C

szög értéke

4, 2^{\circ}

, ill.

40, 4^{\circ}

, egyik sem egyezik a kérdéses

20^{\circ}

-kal. A két megoldást a 2. ábra magyarázza mint a kisebb torony látókörívének a

D

magasságában húzott egyenessel való metszéspontjait.
Eljárásaink összhangban vannak avval, hogy alakzatunk ‐ lényegében egy trapéz ‐ meghatározásához 4 független adat szükséges; ha pedig 5-öt adunk, közülük 1 nélkülözhető, illetve általában ellentmondásban van a többiekkel.