Kezdőlap


Feladat:	F.2154	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/november, 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: F.2154

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A létrejött egybevágó háromszögek alapján a $B A A_{1}$ és $A C C_{1}$ , valamint a $C A A_{1}$ és $B C C_{1}$ szögek páronként egyenlők. Figyelembe véve páronként egy-egy közös szöget is, a fentiek miatt az alábbi háromszögek páronként hasonlóak:

\begin{matrix} A C C_{1} és P A C_{1}, illetve C A A_{1} és P C A_{1} . \end{matrix}

Ezekre felírhatók a következő egyenlőségek:

\begin{matrix} \frac{A P}{A C_{1}} = \frac{C A}{C C_{1}} és \frac{C P}{A_{1} C} = \frac{C A}{A_{1} A} . \end{matrix}

Használjuk fel, hogy a szabályos háromszög oldalának hossza egységnyi, továbbá, hogy

C C_{1} = A A_{1}

és

A_{1} C = C_{1} B

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} A P = \frac{A C_{1}}{A A_{1}} és C P = \frac{C_{1} B}{A A_{1}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A P + C P = \frac{A C_{1} + C_{1} B}{A A_{1}} = \frac{1}{A A_{1}}, \end{matrix}

ami a bizonyítandó állítás. (K. L.)