Kezdőlap


Feladat:	F.2153	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ármós L. , Bene Gy. , Csirke Zs. , Gát Gy. , Horváth 619 M. , Horváth Á. , Kis Kós L. , Kovács 487 A. , Kozák Á. , Lukács 258 Erzsébet , Mészáros 152 Gy. , Pintér F. , Pyber L. , Schwarz P. , Szabó S. , Tábori L. , Varga 711 G. , Varga Lívia , Zempléni A.
Füzet:	1978/november, 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: F.2153

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet két gyökének szorzata $0$ és $1$ közé esik, azaz a gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján $0 < c / a < 1$ , innen

\begin{matrix} 0 < \sqrt[]{c} < \sqrt[]{a} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan a két pozitív gyök összege

- b / a

, ami azt jelenti, hogy

b < 0

. Az egyenletnek két valós gyöke van, tehát a diszkrimináns pozitív, azaz

\begin{matrix} - b > 2 \sqrt[]{a c} . \end{matrix}

(2)

A nagyobbik gyök is kisebb

1

-nél:

\begin{matrix} \frac{- b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} < 1, \end{matrix}

amit átrendezve

\begin{matrix} a + c > - b . \end{matrix}

(3)

(2)

és

(3)

alapján

2 \sqrt[]{a c}

és

(a + c)

között található egész szám. Mivel

(a + c)

maga is egész, ez csak úgy lehet, ha a két szám különbsége egynél nagyobb:

a + c - 2 \sqrt[]{a c} > 1

. Innen

{(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{c})}^{2} > 1

, azaz

(1)

miatt

\sqrt[]{a} - \sqrt[]{c} > 1

. De

c

pozitív egész, tehát legalább

1

, vagyis

\sqrt[]{a} > 2

, amiből

a \geq 5

.
Látható, hogy

a = 5

-re már található megfelelő egyenlet:

c

-t

1

-nek,

b

-t pedig

- 5

-nek választva, valóban

0

és

1

közé eső különböző gyököket kapunk.