Kezdőlap


Feladat:	F.2151	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Mészáros Gyula
Füzet:	1978/november, 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: F.2151

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $(1)$ egyenletet nullára redukáljuk, majd a

\begin{matrix} cos^{4} α - sin^{4} α = (cos^{2} α + sin^{2} α) (cos^{2} α - sin^{2} α) = cos 2 α \end{matrix}

mintájára azonos átalakításokat hajtunk végre, a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 0. \end{matrix}

Ismert azonosságok alapján

\begin{matrix} cos 2 x & = cos (4 x - 2 x) = cos 4 x \cdot cos 2 x + sin 4 x \cdot sin 2 x, és \\ cos 6 x & = cos (4 x + 2 x) = cos 4 x \cdot cos 2 x - sin 4 x \cdot sin 2 x . \end{matrix}

Ezek felhasználásával egyenletünk a következő alakba írható:

\begin{matrix} cos 4 x \cdot (2 cos 2 x + 1) = 0. \end{matrix}

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha vagy

cos 4 x = 0

, vagy

2 cos 2 x + 1 = 0

. Az első esetben

cos 4 x = 0

, ha

4 x = \frac{π}{2} + k π

, vagyis

\begin{matrix} x_{1} = \frac{π}{8} + k \frac{π}{4} = (2 k + 1) \frac{π}{8} . \end{matrix}

A másik esetben

cos 2 x = - \frac{1}{2}

. Ekkor

2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 k π

, azaz

\begin{matrix} x_{2} = \pm \frac{π}{3} + k π = (3 k \pm 1) \frac{π}{3} . \end{matrix}

(

k

mindkét esetben tetszőleges egész számot jelöl.) Mivel átalakításaink megfordíthatóak voltak, az

(1)

egyenletet is ezek és csak ezek az

x

értékek elégítik ki.

Mészáros Gyula (Budapest, Leövey K. Gimn., IV. o. t.)