Kezdőlap


Feladat:	F.2150	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartke I. , Bencze I. , Bene Gy. , Benkó B. , Blázsik Z. , Bodócs P. , Csikós B. , Czifra A. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Gát Gy. , Hajnal P. , Hidas P. , Horváth A. , Illés D. , Kádár Zsuzsanna , Kiss 352 Gy. , Kókai L. , Kovács 683 Z. , Körösi G. , Lengvárszky Z. , Ludvai Katalin , Lukács 258 Erzsébet , Müller Sz. , Ódor T. , Oláh K. , Pátkai Andrea , Petre P. , Pintér 395 F. , Pirkó J. , Pósafalvi A. , Pyber L. , Ráth Gy. , Sali A. , Seres I. , Soós Marianna , Szodfridt G. , Takács 405 Gabriella , Varga J. , Varga Lívia , Zakar L.
Füzet:	1978/november, 127 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térbeli ponthalmazok távolsága, Szabályos testek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: F.2150

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tartsuk függőlegesen az oktaéder egyik tengelyét, és jelöljük a rajta levő csúcsok közül az alsót $A$ -val, a felsőt $F$ -fel, a többi csúcsot pedig rendre $B$ , $C$ , $D$ , $E$ -vel. Hagyjuk el a $B E$ élre támaszkodó lapokat, és mozgassuk el a megmaradt lapokat az élek mentén, ahogy a modell engedi. Mozgatás közben tartsuk meg a csúcsok jelölését és az $A F$ szakasz függőleges helyzetét. Így a $B$ , $C$ , $D$ , $E$ csúcsok az $A$ , $F$ pontoktól egyenlő távolságra maradnak, tehát mindig benne vannak az $A F$ szakasz $S$ felező merőleges síkjában. Nem jelent emiatt a mozgásra vonatkozó megszorítást az sem, ha feltesszük, hogy $S$ nem változtatja a helyét, sőt azt is feltehetjük, hogy a $C D$ él is mozdulatlan marad. Ekkor az $A$ , $F$ pontok a $C D$ szakasz felező merőleges síkjában levő, $\sqrt[]{3} / 2$ sugarú $k$ körön lesznek, a $B$ , $E$ pontok pedig a $C$ , illetve $D$ középpontú, $S$ -beli, egységnyi sugarú $k_{1}$ , $k_{2}$ körökön (egységnek az élek hosszát, vagyis a decimétert választjuk. Mindhárom kör átmegy az $S$ -ben a $C D$ élre támaszkodó két szabályos háromszög harmadik csúcsán, $G$ -n és $H$ -n.

k

-n az

A

F

pontokat

G

felé mozgatjuk el, a

B

E

pontok távolodnak

G

-től, hiszen az

A B

B E

F E

E A

élek hossza változatlan. Mivel közben

B E \leq B F + F E = 2

, a

B

E

pontok maximális távolsága

2

. Ekkor

F

és

A

azonos a

G

ponttal, az oktaéder lapjai belesimulnak

S

-be. Ellenkező irányban mozgatva az

A

F

pontokat, a

B

E

pontok közelednek egymáshoz és

G

-hez, míg végül egybe nem esnek vele. Ha

d

tetszőleges szám, amelyre

\begin{matrix} 0 \leq d \leq 2 \end{matrix}

(1)

teljesül, húzzunk

S

-ben párhuzamosokat a

G H

egyenestől

d / 2

távolságra, ezek

C D

-nek a

G

felőli oldalán messék a

k_{1}

k_{2}

köröket rendre a

B

E

pontokban. Ekkor

B G \leq 1 \leq B H

, tehát a

B

körüli egységsugarú gömb metszi

k

-t két pontban, legyen ez

A

és

F

. Így a mi hálózatunk pontjait kaptuk, tehát a

B

E

pontok távolsága tetszőleges,

(1)

-nek eleget tevő

d

szám lehet.

Megjegyzés. Jelöljük

C D

felezőpontját

K

-val, a

B C D

szöget

γ

-val, a

G K F

szöget

φ

-vel. Ekkor

\begin{matrix} B F^{2} = \frac{3}{4} sin^{2} φ + {(cos γ - \frac{1}{2})}^{2} + {(sin γ - \frac{\sqrt[]{3}}{2} cos φ)}^{2} = 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos φ = \frac{1 - cos γ}{\sqrt[]{3} sin γ} . \end{matrix}

Ha tehát

G

-ből indulva

B

állandó szögsebességgel forog

C

körül,

F

ugyan nem állandó szögsebességgel halad

k

-n, de helyzete

γ

folytonos függvénye. Ez a folytonosság biztosítja matematikailag a szóban forgó mozgatás fizikai létezését. Ennek megmutatását azért nem tekintjük a megoldás részének, mert a feladatban a mozgatásnak csak a geometriában szokásos, szemléletes képét használtuk.