Kezdőlap


Feladat:	F.2149	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: F.2149

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A követelmény természetesen úgy is teljesül, ha a feldarabolás egyenlő szárú háromszögei között az egybevágók száma több, mint $3$ . Ilyen feldarabolást mutatunk, a következőkre támaszkodva:
1. minden háromszög felbontható $2$ derékszögű háromszögre,
2.minden derékszögű háromszög felbontható $2$ egyenlő szárú háromszögre, végül
3.minden háromszög felbontható $4$ hozzá hasonló, és egymás közt egybevágó háromszögre.

Legyen

A

a háromszög legnagyobb szögének csúcsa, ha pedig több ilyen van, akkor valamelyik ezeknek a csúcsai közül, a másik két csúcs

B

és

C

, az

A B

;

A C

oldal felezőpontja

O_{1}

, ill.

O_{2}

. Az

A

-ból induló

A A'

magasság a háromszöget

2

(valódi) derékszögű háromszögre osztja, az ezek köré irt körökben

O_{1} A'

, ill.

O_{2} A'

egy-egy sugár, az eddigiekkel tehát

4

(valódi) egyenlő szárú háromszögre bontottuk

A B C

-t. Ezek valamelyikét a középháromszögének oldalai mentén szétvágva, hozzá hasonló, vagyis egyenlő szárú háromszögeket kapunk, szám szerint

1

helyett

4

-et, a részek száma tehát

4

-ről

(4 - 1) + 4 = 7

-re emelkedik.
A feladatot ezzel megoldottuk, feldarabolásunk akkor is megfelelő, ha az

A B C

háromszög oldalai közt egyenlők is vannak.

Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy eljárásunk utolsó lépését bármelyik darabon megismételhetjük, tehát a feladatot minden olyan esetre megoldottuk, ahol a részek előírt száma

n = 3 k + 1

és

k \geq 2

, egész szám.

n \geq 20

mellett a

3

-mal való osztás maradékára való tekintet nélkül megoldható a feladat, elegendő egyszer vagy kétszer

2^{2}

helyett

3^{2}

egybevágó darabra vágni az egyik ,,utolsó'' háromszöget.

II. megoldás. Írjunk a háromszögbe írható kör

O

középpontja körül a beírtnál ,,kicsivel nagyobb'' kört. Az oldalakkal való

6

metszéspontot

O

-val összekötő sugarak egyenlő szárú háromszögekre vágják a metszéspontok alkotta hatszöget, és ezek közül az a

3

egybevágó, amelyeknek az alapja az eredeti háromszög egy-egy oldalán van, hiszen ezeknek egyenlő a magasságuk is, ti. a beírt kör sugara. ‐ A hatszög ,,új'' oldalai által lemetszett háromszögek is egyenlő szárúak, így

9

egyenlő szárú háromszögünk van. Ebből

2

megszűnik ‐ egy ,,befelé'' és egy ,,kifelé'', ha körünket addig növeljük, hogy átmenjen a háromszög legnagyobb szögének csúcsán. ‐ Ezzel megoldottuk a feladatot.

Megjegyzés. Az oldalak különbözőségének követelményét a szerkesztő bizottság kapcsolta hozzá a megjelölt forrásban talált feladathoz, avégett, hogy az utóbbi megoldás is használható legyen.