Kezdőlap


Feladat:	F.2145	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frits Gabriella
Füzet:	1978/december, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: F.2145

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) bal és jobb oldalán álló kifejezéseket szorzat alakban felírva, majd átalakítva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 sin \frac{x + y}{2} (cos \frac{x - y}{2} - cos \frac{x + y}{2}) = 0. \end{matrix}

Mivel a zárójelben álló kifejezés

(2 sin \frac{x}{2} \cdot sin \frac{y}{2})

-vel egyenlő,

(1)

akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} vagy \frac{x + y}{2} = k_{1} π, vagy \frac{x}{2} = k_{2} π, vagy \frac{y}{2} = k_{3} π \end{matrix}

(

k_{1}

k_{2}

k_{3}

egész számok).

(2)

szerint azonban

\begin{matrix} | x | < π, | y | < π és | x + y | ≦ | x | + | y | < π, \end{matrix}

azaz csak

k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0

lehetséges. Így az egyenletrendszernek attól függően, hogy a fenti három eset közül melyik következik be, a következő hat megoldása van:

\begin{matrix} x & - 0,5 & 0,5 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ y & 0,5 & - 0,5 & 1 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}

Frits Gabriella (Sopron, Széchenyi I. Gimn.)