A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A téglatest szimmetriái alapján a kérdéses összeg négy tagja egyenlő, továbbá , így elég vizsgálnunk az függvénynek (az összeg felének) változását, ha a intervallumban változik. Legyen és , így Deriváltja eltűnésének feltétele | | vagyis | | Ez akkor és csak akkor teljesül, ha ‐ visszatérve a változó használatára és figyelembe véve a mondott értelmezési tartományt ‐ | | szavakban: ha a síkban -vel -os szöget bezáró egyenes a fedőlap középvonalát és közötti pontban metszi, függvényünknek csak ebben az esetben lehet szélső értéke az intervallum belsejében, illetve éppen -ben.
Mindenesetre . Ha a szakasz belsejében keletkezett, akkor , és így | | tehát az intervallumban növekvő, negatívból pozitívba megy át, és így -nek minimuma van a talált helyen. Ha pedig az -t adó helyre , és ide értve -t is, akkor a intervallumban növekedő, tehát minimuma mellett van, amikor azonos -vel.
Megjegyzések. 1. Ismert síkbeli feladatba megy át minimumának a kérdése, ha helyett a fedőlap síkjára való tükörképét vesszük, másrészt egyelőre nem korlátozzuk -et az egyenesre, csak az háromszög síkjára. Ismeretes, hogy így az összeg a háromszög ún. izogonális (magyarul: egyező látószögű) pontjára a legkisebb, amelyből az , és látószögek közös értéke . Ez a pont azonban csak akkor létezik, ha a háromszög egyik szöge sem nagyobb -nál; ha viszont van ilyen szög, akkor annak a csúcsára minimális az összeg és a látószögek ilyenkor nem egyenlők. ‐ Esetünkben miatt csak -ben lehet szó ilyen szögről, éppen ennek esetét zárta ki (emelte ki) a megoldás. ‐ Az háromszög tengelyes szimmetriája alapján az izogonális (régebbi nevén: Torricelli-féle) pont az magasságra esik. 2. Visszatérve az eredeti feladatra, kérdésünk rokonságban áll az , , , (egy síkbeli) pontok közti minimális összhosszúságú úthálózat kérdésével (lásd a P.20. problémát, K. M. L. 39 (1969) 215. old., továbbá speciális esetre a Gy. 1317. gyakorlatot, 44 (1972) 112. old.). 3. Könnyen adódik az a sejtés, hogy ha az középvonalon nem találtunk (és ) pontot, akkor a fedőlap -vel párhuzamos középvonalán lesz megfelelő pont. 4. A feladat tekinthető a következő (egyszerűsített) gyakorlati probléma részének: két egymásra merőleges irányú (különböző szélességű) csatorna egy várost 4 részre tagol. Olyan gyaloghidat kívánunk a keresztezés fölött lépcsőfeljárókkal, amely a város bármely két része közt összeköttetést létesít. (Magasságát a hajózás szabja meg. Ekkor persze a lépcsők meredeksége is figyelembe veendő.) |