Feladat:	F.2143	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gy. ,  Blázsik Z. ,  Cseri I. ,  Csikós B. ,  Csordás A. ,  Erdélyi T. ,  Horváth M. (Bp.) ,  Horváth T. (Bp.) ,  Kiss Gy. (Miskolc) ,  Kiss Zs. (Kaposvár) ,  Kovács Á. ,  Márkus L. ,  Nagy G. (Székesfehérvár) ,  Oláh K. ,  Ráth Gy. ,  Samu P. ,  Szabó S. (Bp.) ,  Szekeres G. ,  Varga D. ,  Varga G. ,  Varga Lívia
Füzet:	1978/október, 62 - 63. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: F.2143

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az adott kifejezés első három tagjának $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1\left(a_2\text{sin}{\alpha }_{12}+a_3\text{sin}{\alpha }_{13}+a_4\text{sin}{\alpha }_{14}\right)}\end{array}$ összege az $A_1{A}_2{A}_5$ háromszög területének $2$-szeresét adja, mert a zárójelben az $A_5$ csúcsnak az $A_1{A}_2$ egyenes fölötti magassága áll (ami az ötszög konvexsége szerint pozitív). Valóban, a zárójel első tagja $A_3$-nak az $a_1$ oldal fölötti magassága, a második tag az $A_4$ és $A_3$ közti magasságkülönbség az előjelet is figyelembe véve (negatív, ha ${\alpha }_{13}>{180}^{\circ }$), végül a 3. tag ugyanígy $A_5$ és $A_4$ magasságának különbsége. (A konvexség alapján ${\alpha }_{14}\ge {\alpha }_{13}\ge {\alpha }_{12}$, ha $\text{sin}{\alpha }_{13}$ negatív, akkor $\text{sin}{\alpha }_{14}$ is.) Hasonlóan $a_2\left(a_3\text{sin}{\alpha }_{23}+a_4\text{sin}{\alpha }_{24}\right)$ az $A_2{A}_3{A}_5$ háromszög $2$-szeres területe, az utolsó tag pedig az $A_3{A}_4{A}_5$ háromszögé. Így az ötszög $A_5$-ből kiinduló átlói által fölbontva az ötszög területének $2$-szeresét soroltuk föl, hiszen a konvexség alapján a területet e $3$ háromszög összege adja.   Megjegyzés. A kitűzött feladatot S. L. Huilier (1750‐1840) tételeként olvastuk: Ha egy $n$-oldalú poligon egy oldalát elhagyjuk, és a maradékból képezzük a páronkénti szorzatokat, mindegyik szorzatot az illető oldalak közti szög sinusával is szorozzuk, ennek az $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}$ szorzatnak az összege a poligon területének a $2$-szeresét adja. Ez egyik alaptétele a ,,poligonometriának''. ‐ Itt nincs szó konvexségről, mi viszont az egyszerűség kedvéért korlátozódtunk konvexségre és $n=5$-re.