Azt mondjuk, hogy egy nyelv prefix, ha megvan a feladatban szereplő tulajdonsága. Tegyük fel, hogy a mumbo-jumbo törzs nyelvénél kevesebb betűvel nem állítható össze egy $k$ szavas prefix nyelv teljes szójegyzéke. Egy $A$-ból és $O$-ból álló sorozat szabad, ha nem állítható elő úgy, hogy egy mumbo-jumbo szó végéről néhány betűt elhagyunk. Jelöljük a legrövidebb szabad sorozat hosszát $h$-val, a leghosszabb szóét $H$-val. Mivel a nyelv szavai szabad sorozatok, $h\le H$.
Legyen $p$ egy tetszőleges $H$ betűs szó, és $\overline{p}$ az a sorozat, amelyet $p$-ből úgy kapunk, hogy utolsó betűje helyére a másik betűt tesszük. Ha $\overline{p}$ nem lenne szó, $p$-nek elhagyhatnánk az utolsó betűjét, és a nyelv prefix maradna. Ez viszont ellentmondana annak a feltevésünknek, hogy kevesebb betűvel már nem lehet prefix szójegyzéket összeállítani, $\overline{p}$ tehát szó.
Tegyük fel először, hogy $h=H$. Ekkor minden $H$ elemű sorozat szó, különben az utolsó betűjét elhagyva is szabad sorozatot kapnánk. Tehát $k=2^H$, és a teljes szójegyzék $kH$, betűből áll.
Megmutatjuk, hogy ha $h<H$, akkor a különbségük csak $1$ lehet. Ebben az esetben ugyanis minden $h$ elemű szabad sorozat szó, különben egy tetszőleges $H$ betűs szóra kicserélve csökkenthetnénk a betűk számát a szójegyzékben. Ha viszont $p$ egy $h$ betűs szó és $qA\mathrm{,}qO$ is $H$ betűs szavak, akkor ezeket a $pA\mathrm{,}pO$, és $q$ szavakra cserélve a nyelv prefix maradna, és a betűk száma ismét csökkenne a szójegyzékben, mihelyt $H-h>1$ volna.
Ha tehát $h<H$, akkor $h$ értéke csak $\left(H-1\right)$ lehet. Jelöljük a $h$ elemű szabad sorozatok számát $s$-sel. A többi $h$ elemű sorozatból az $A$ és $O$ betűk hozzáírásával $2-2H$ betűs szót kapunk. Emiatt