Kezdőlap


Feladat:	F.2140	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss György
Füzet:	1978/október, 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: F.2140

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a négy egyenletet egyenként felírjuk :

\begin{matrix} x^{4} - 17 = x y z t \\ y^{4} - 7 = x y z t \\ z^{4} + 5 = x y z t & (1) \\ t^{4} + 19 = x y z t, \end{matrix}

majd a jobb és bal oldalakat összeadjuk, az egyenletrendszer egy következményét kapjuk:

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} = 4 x y z t . \end{matrix}

A számtani és mértani közép közti összefüggés felhasználásával:

\begin{matrix} \frac{x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4}}{4} ≧ \sqrt[^{4}]{x^{4} y^{4} z^{4} t^{4}} = | x | \cdot | y | \cdot | z | \cdot | t | ≧ x y z t, \end{matrix}

és egyenlőség csak az

| x | = | y | = | z | = | t |

esetében állhat, ami nem egyeztethető össze (1)-gyel. Az egyenletrendszernek tehát a valós számok körében nincs megoldása.

Kiss György (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)