A kérdéses összeg helyett mindjárt az általánosabb ${\sum }_{i=1}^{n}k\left(n/i\right)$ összeget fogjuk meghatározni.
Definíció szerint $k\left(n/i\right)$ azoknak az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ pontoknak a számát adja meg, amelyekre $1\leqq x\leqq n/i$, $1\leqq y\leqq n/i$, és $x$, $y$ relatív prímek, amit az $x\text{'}=ix$ és $y\text{'}=iy$ bevezetésével úgy is tekinthetünk, mint azoknak az $\left(x\text{'}\mathrm{,}y\text{'}\right)$ pontoknak a számát, amelyekre $1\leqq x\text{'}\leqq n$, $1\leqq y\text{'}\leqq n$, és $x\text{'}$, $y\text{'}$ olyan egész számok, melyek legnagyobb közös osztója $i$. Így tehát a ${\sum }_{i=1}^{n}k\left(n/i\right)$ összegben az olyan $\left(x\text{'}\mathrm{,}y\text{'}\right)$ pontokat számláljuk össze, amelyeknek mindkét koordinátája $1$ és $n$ közé eső egész szám, mégpedig az $\left(x\text{'}\mathrm{,}y\text{'}\right)$ pontot annál az $i$-nél, amelyik az $x\text{'}$ és $y\text{'}$ legnagyobb közös osztója.
Másrészt így minden ilyen pontot csak egyszer veszünk számításba, hiszen két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója egyértelműen meghatározott. Ezeknek a pontoknak száma nyilván $n^2$, ezért