Feladat:	F.2137	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ármos L. ,  Bartke I. ,  Becze I. ,  Bedő Katalin ,  Bereznai M. ,  Beró Éva ,  Cseri I. ,  Csikós B. ,  Csirke Zs. ,  Czifra A. ,  Danis Éva ,  Eisenberger A. ,  Erdélyi T. ,  Erdélyi-Szabó M. ,  Fülöp Zsuzsanna ,  Gonczlik Tamás ,  Gregorics T. ,  Hajnal P. ,  Hankovics P. ,  Hidas P. ,  Horváth M. ,  Horváth T. ,  Kántor S. ,  Karakas J. ,  Kiss Zs. ,  Kocsis I. (Bp.) ,  Kovács I. (Eger) ,  Lengvárszky Zs. ,  Lukács Erzsébet ,  Nagy G. ,  Németh R. ,  Oláh K. ,  Pintér F. (Bp.) ,  Pósafalvi A. ,  Pyber L. ,  Rábai Z. ,  Sali A. ,  Seres I. ,  Simon K. ,  Szabó S. (Bp.) ,  Szekeres G. ,  Tábori L. ,  Varga D. ,  Varga Lívia ,  Zempléni A.
Füzet:	1978/szeptember, 8. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Forgatva nyújtás, Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: F.2137

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Fordítsuk el az $O$ középpontú kör tetszőleges $KL$ húrját $O$ körül a $2\phi \left(<{180}^{\circ }\right)$ szöggel a $K\text{'}L\text{'}$ helyzetbe, és jelöljük a $KL$, $K\text{'}L\text{'}$ húr felezőpontját rendre $F$, $F\text{'}$-vel, a $KL$, $K\text{'}L\text{'}$ egyenesek metszéspontját $M$-mel. Az $OM$ szakaszt $F$-ből és $F\text{'}$-ből derékszögben látjuk, másrészt $OF\text{'}=OF$, ezért $FOM\sphericalangle =\phi \left(<{90}^{\circ }\right)$ és $OM=OF/\text{cos}\phi$. Eszerint $M$ az $F$ pont képe abban a forgatva nyújtásban, melynek centruma $O$, szöge $\phi$, nyújtási arányszáma pedig $1/\text{cos}\phi$ ($>1$, tehát nagyítás). Ezek szerint a szóban forgó $4$ metszéspont együttese a kiindulási húrnégyszög oldalfelező pontjainak együtteséből keletkezik a leírt forgatva nyújtással. A felezőpontok együttese tetszőleges, nem elfajult négyszög esetében paralelogramma, a húrnégyszög pedig nem lehet elfajult, mert semelyik $3$ csúcsa nem lehet egy egyenesen. A centrálisan nagyított kép hasonló az eredetihez, az elfordítás pedig egybevágósági transzformáció, eszerint a $4$ metszéspont együttese is paralelogramma. ‐ Ezt kellett bizonyítanunk.    Gonczlik Tamás (Esztergom, Dobó K. Gimn., IV. o. t.)