Feladat: F.2134 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Károlyi Gyula 
Füzet: 1978/november, 122 - 123. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvények, Kombinatorikus geometria síkban, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/február: F.2134

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy adott n≥2 egész szám esetén k az a természetes szám, amelyre

(k-1)2<n≤k2(1)
teljesül, vagyis k2 legyen a legkisebb, n-nél nem kisebb négyzetszám. Megmutatjuk, hogy f(n)=k. A bizonyítás f(n) definíciójának megfelelően két lépésből áll.
Először azt mutatjuk meg, hogy k választható m-nek, azaz k≤f(n). Legyen e1, e2, ..., en tetszőleges n egyenes a síkon. Ha van köztük k párhuzamos, vegyük ki azokat. Ha nincs, lépésről lépésre vegyünk ki közülük mindig egyet úgy, hogy az új egyenes egyetlen korábban kiválasztott egyenessel se legyen párhuzamos. Így legalább k egyenest ki tudunk venni, hiszen feltevésünk szerint mindegyik kiválasztott egyenessel legfeljebb k-2 másik lehet párhuzamos. Emiatt ha tetszőleges k-1 egyeneshez hozzávesszük a velük párhuzamosakat, azokkal együtt is csak (k-1)2 egyenest kapunk, és (1) szerint nekünk ennél több egyenesünk van.
Másodszor azt mutatjuk meg, hogy egyetlen k-nál nagyobb m számnak sem lehet meg a mondott tulajdonsága. Legyen e1, e2, ..., ek tetszőleges k egyenes a síkon, amelyek között nincs két párhuzamos. (Például egy 2k oldalú szabályos sokszög k egymás utáni oldala.) Húzzunk mindegyikkel párhuzamosan k-1 másik egyenest. Így (1) szerint legalább n egyenest kapunk, és ezek közül akárhogy választunk ki k-nál többet, köztük legalább kettő párhuzamos, hiszen különben az e1, e2, ..., ek egyenesekkel párhuzamosak közül rendre csak egyet-egyet választhatunk, és ez legfeljebb k egyenes.
 
Károlyi Gyula (Budapest, Ságvári E. Gyak. Isk. 8. o. t.)