Feladat: F.2130 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1978/május, 201. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/január: F.2130

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az APC háromszögben PA=PC, az APC háromszög P-beli belső szögfelezője azonos az AC szakasz felező merőleges egyenesével, f-fel. Mivel B is rajta van f-en, az ilyen P pontok mind a vizsgált mértani helyhez tartoznak.

 
 

Ha az APC háromszögben PA≠PC, jelöljük a háromszög köré írható k körnek f-fel alkotott metszéspontjai közül Q-val azt, amelyik AC-nek P-vel ellentétes oldalán van, és R legyen a másik metszéspont. Mivel Q választása miatt PQ metszi az AC szakaszt, és az AQ, CQ körívek egyenlősége miatt az APQ, CPQ szögek egyenlőek, az APC háromszög P-beli belső szögfelezője a PQ egyenes. Mivel erre a háromszög P-beli külső szögfelezője is, az RP egyenes is merőleges, e két egyenes azonos. Az APC háromszög P-beli belső és külső szögfelezője tehát a Q, R pontokban metszi f-et. (Mindkettő metszi f-et, hiszen P most nincs rajta f-en.) Mivel B rajta van f-en, a két szögfelező egyike akkor és csakis akkor mehet át B-n, ha B vagy Q-val vagy R-rel azonos. Vagyis k azonos az ABC háromszög köré írható körrel, ami akkor és csakis akkor lehet, ha P rajta van ezen a körön.
Tehát a vizsgált mértani hely az AC szakasz f felező merőlegese és az ABC háromszög k köré írható köre, kivéve A-t és C-t, hiszen P-nek ezekkel háromszöget kell alkotnia. Emiatt el kell hagynunk az f-ből az AC szakaszon levő F pontját is.
 

Megjegyzés. A feladat szövegét kissé módosítottuk, a kitűzésben az APC szög belső és külső szögfelezőiről volt szó, ami félreértésre adhatott alkalmat.