Feladat: F.2127 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kókai László 
Füzet: 1978/május, 198. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/január: F.2127

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük ki az y-t a bal oldalon álló kifejezés első két tagjából:

y(10x+17z)+27xz=n.
x-nek és z-nek válasszunk olyan egész értékeket, hogy 10x+17z=1 legyen, pl. x=-5, z=3 megfelelő értékpár. E választás mellett (1) a következő alakot ölti:
y-405=n.
Ez nyilván teljesül, ha y=n+405.
Ha n egész szám, akkor y is egész. Az (1) egyenletnek tehát valóban minden n egész számra van egész x, y, z megoldása.
 

 Kókai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladat megoldása azon múlt, hogy találtunk olyan x és z számokat, amelyekre 10x+17z=1 teljesül. Általában tetszőleges a1, a2, ..., ak és b egész számok mellett kérdezhetjük, van-e egészekből álló megoldása az a1x1+a2x2+...+akxk=b egyenletnek. Igazolható, hogy akkor és csak akkor van ilyen megoldás, ha az a1, ..., ak számok legnagyobb közös osztója b-nek is osztója.