Kezdőlap


Feladat:	F.2126	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1978/április, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: F.2126

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyrészt a szabályos háromszög, másrészt a kérdéses szorzat szimmetriája alapján egy $f$ egyenessel együtt szimmetrikus képein ugyanannyi a szorzat értéke. Elkerülhetjük az ismétlődéseket a következő megállapodással: legyenek a háromszög kerületének $f$ -en levő pontjai $B_{1}$ és $C_{1}$ , továbbá legyen $A_{1}$ a $B C$ oldal $B$ -n túli meghosszabbításán, esetleg éppen $B$ -ben.

Jelöljük az

O A_{1} C

szöget

φ

-vel (

0 < φ \leq 30^{\circ}

), ekkor a

B_{1} A_{1} C

háromszögre a külső szög tételét alkalmazva

O B_{1} A ∢ = φ + 60^{\circ}

, továbbá

O C_{1} B ∢ = φ + 120^{\circ}

és

O C_{1} A ∢ = 60^{\circ} - φ

. Az

O A_{1} A_{0}

derékszögű háromszögben a

φ

-vel szemben fekvő

O A_{0}

befogó

ϱ

, a beírt kör sugara. Így és hasonlóan

\begin{matrix} O A_{1} \cdot O B_{1} \cdot O C_{1} = \frac{ϱ^{3}}{sin φ sin (60^{\circ} + φ) sin (60^{\circ} - φ)}, \end{matrix}

tehát a szorzat olyan

φ

mellett minimális, amely mellett a nevezőbeli szorzat maximális. Mármost

\begin{matrix} sin φ {sin (60^{\circ} + φ) \cdot sin (60^{\circ} - φ)} = \frac{sin φ}{2} {cos (60^{\circ} + φ - (60^{\circ} - φ)) - \\ - cos (60^{\circ} + φ + 60^{\circ} - φ)} = \frac{sin φ}{2} (cos 2 φ - cos 120^{\circ}) = \\ = \frac{sin φ}{2} (1 - 2 sin^{2} φ + \frac{1}{2}) = (3 sin φ - 4 sin^{3} φ) = \frac{1}{4} sin 3 φ, \end{matrix}

és ez nyilvánvalóan

sin 3 φ = 1

3 φ = 90^{\circ}

φ = 30^{\circ}

mellett maximális, ekkor

A_{1}

azonos

B

-vel,

f

azonos az itt átmenő szimmetriatengellyel, a szögek

30^{\circ}

30^{\circ}

90^{\circ}

.
A szorzat akkor a 2-szerese a minimális értéknek, ha a nevező fele akkora,

sin 3 φ = \frac{1}{2}

φ = 10^{\circ}

, a további két szög

70^{\circ}

és

50^{\circ}