Kezdőlap


Feladat:	F.2122	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Tibor , Nagy Attila
Füzet:	1978/április, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Sorozat határértéke, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: F.2122

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x$ tetszőleges valós szám. A feltételek szerint:

\begin{matrix} f (x) = f (\frac{x}{2}) = ... = f (\frac{x}{2^{n}}) = ... \end{matrix}

Mivel

{lim}_{n \to \infty}^{} \frac{x}{2^{n}} = 0

és

f

a 0-ban folytonos:

\begin{matrix} f (x) = {lim}_{n \to \infty}^{} f (x) = {lim}_{n \to \infty}^{} f (\frac{x}{2^{n}}) = f ({lim}_{n \to \infty}^{} \frac{x}{2^{n}}) = f (0), \end{matrix}

tehát

f

állandó.
Az egyenlőséget kielégítő nem folytonos függvények például a következők:

\begin{matrix} f_{1} (x) = {\begin{matrix} {log_{2} | x |}, & ha x \neq 0; \\ 0, & ha x = 0. \end{matrix} \end{matrix}

{

a

}-val a szám törtrészét jelöltük (

0 \leq {a} < 1

és

a - {a}

egész). Ekkor ugyanis

\begin{matrix} f_{1} (2 x) = {log_{2} 2 | x |} = {1 + log_{2} | x |} = {log_{2} | x |} = f_{1} (x) . \end{matrix}

Könnyen látható, hogy az

f_{1}

függvény a

(\pm 2^{k})

(

k

egész) helyeken nem folytonos,

\begin{matrix} f_{2} (x) & = {\begin{matrix} 1, & ha x racionális; \\ 0, & ha x irraciomális . \end{matrix} \\ f_{3} (x) & = {\begin{matrix} 1, & ha x \neq 0; \\ 0, & ha x = 0. \end{matrix} \\ f_{4} (x) & = {\begin{matrix} 1, & ha x = 2^{k} (k egész); \\ 0 & egyébként . \end{matrix} \end{matrix}

Horváth Tibor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
Nagy Attila (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A bizonyításnál

f

-nek csak a 0-beli folytonosságát használtuk ki.
2. Sokan voltak, akik bár helyesen idézték a folytonosság definícióját, helytelenül alkalmazták. Ezért tűnik szükségesnek kihangsúlyozni, hogy egy függvény csak értelmezési tartományának valamely pontjában lehet folytonos vagy nem folytonos.