|
Feladat: |
F.2121 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ármós Lajos , Bartke I. , Blázsik Z. , Boros T. , Csák L. , Csikós B. , Eisenberger A. , Fazekas G. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Frits Gabriella , G. Horváth Á. , Gát Gy. , Hajnal P. , Kovács 487 A. , Lengvárszky Zs. , Pósafalvi A. , Ráth Gy. , Rosanics Gy. , Samu P. , Solymosi T. , Varga 711 G. , Varga J. |
Füzet: |
1978/április,
150 - 152. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/december: F.2121 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat megoldásában természetes számon pozitív egész számot értünk. Szükségünk lesz a illetve a egyenletek egész megoldásaira. (2)-ben csak lehet, mivel a bal oldal értéke legalább . Emiatt értéke egész szám, így is egész, azaz . Az mellett nem kapunk -re egész értéket, az , megoldás. Ha , akkor osztható 4-gyel, ami csak úgy lehet, ha páros. (2)-nek a alakjából látható, hogy a bal oldalon álló két tényező mindegyike 2 pozitív egész kitevőjű hatványa, különbségük pedig 2. Ez csak , esetben lehetséges, amiből adódik. A (3) egyenletben , különben a bal oldal nem lenne pozitív. Az , megoldás. Ha , akkor , azaz a bal oldal 3-mal osztható, ami csak úgy lehet, ha páros. (3)-nak alakjából látható, hogy a bal oldalon szereplő két tényező mindegyike 3-hatvány, különbségük pedig 2. Ez viszont csak a , esetben lehetséges, amiből , adódik. Térjünk most rá a feladat megoldására. Az (1) egyenlet a következő alakban írható: Mivel osztható -gyel és aszerint, hogy páros vagy páratlan, vagy osztható -gyel, osztható -gyel és -gyel is. A továbbiakban három esetet különböztetünk meg. . Ha , akkor osztható 3-mal, vagy tehát 3. Mivel és felcserélhetők, legyen . Ekkor (1) a következő alakot ölti: A bal oldalon álló tényezők különbsége 2 és páratlanok, tehát relatív prímek. Így közülük az egyik osztható 3-mal, és , miatt a másik -rel. Ezért
vagy és , vagy és .
A (3) egyenlet megoldásai alapján az első esetben , , , , ami nem megoldás, vagy , , , .
A második esetben (2) megoldásai alapján , , , ami nem megoldás, vagy , , , . 2. Ha , akkor páros, tehát és közül legalább az egyik 2. Legyen . Ekkor (1) a következő alakot ölti: Ha a bal oldalon álló tényezőknek közös osztója, akkor . Ez esetben A (2) megoldása szerint, mivel nem lehet, , . Ebből és , , vagy , . Ha , akkor -rel a bal oldalon álló kifejezésnek csak egyik tényezője osztható, ezért
vagy és , vagy és .
( és -nál kisebb pozitív egész számok.) Az első esetben (2) alapján a megoldást kapjuk. A , lehetőség most kizárt, mert belőle adódna. A második esetben (3) megoldásai szerint vagy , , vagy , , amiből következik, ezért itt ezek sem jöhetnek számításba.
3. Végül ha , akkor mivel prímszám, és páros számok és egyikük 3-mal is osztható. Ezért osztható 2-vel és 3-mal is, vagyis és közül az egyik 2, a másik 3, legyen , . Ekkor (1) a következő alakot ölti: Nem lehet osztható a bal oldal mindkét tényezője sem 3-mal, sem 4-gyel, mivel szomszédos páros számok. Ezért (és miatt) két eset lehetséges:
vagy és vagy és .
Az első esetben a két egyenletet egymásból kivonva és 2-vel egyszerűsítve a (3) típusú egyenletet kapjuk, amelynek egyetlen természetes számokból álló megoldása , és ezért , . A második esetben az előbbihez hasonló módon a (2) típusú egyenlet adódik, amelyből két megoldást kapunk: és | | Azon kívül, hogy -t és -t még minden esetben felcserélhetjük egymással, több lehetőség nincs. A keresett számok tehát a következők:
|pxqyrz|1325124|1712431|1713124|1512331|1513123|1712532|1713225 Megjegyzés. Ha a természetes számok közé a nullát is bevesszük, még a következő megoldásokat kapjuk:
|pxqyrz|2131tetszőleges0|21tetszőleges031|3123tetszőleges0|31tetszőleges022
Ármós Lajos (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)
|
|