Kezdőlap


Feladat:	F.2121	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ármós Lajos , Bartke I. , Blázsik Z. , Boros T. , Csák L. , Csikós B. , Eisenberger A. , Fazekas G. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Frits Gabriella , G. Horváth Á. , Gát Gy. , Hajnal P. , Kovács 487 A. , Lengvárszky Zs. , Pósafalvi A. , Ráth Gy. , Rosanics Gy. , Samu P. , Solymosi T. , Varga 711 G. , Varga J.
Füzet:	1978/április, 150 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: F.2121

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldásában természetes számon pozitív egész számot értünk. Szükségünk lesz a

\begin{matrix} 2^{a} + 1 = 3^{b} \end{matrix}

(2)

illetve a

\begin{matrix} 2^{a} - 1 = 3^{b} \end{matrix}

(3)

egyenletek egész megoldásaira. (2)-ben csak

b \geq 0

lehet, mivel a bal oldal értéke legalább

1

. Emiatt

3^{b}

értéke egész szám, így

2^{a}

is egész, azaz

a \geq O

. Az

a = 0

mellett nem kapunk

b

-re egész értéket, az

a = 1

b = 1

megoldás. Ha

a > 1

, akkor

3^{b} - 1

osztható 4-gyel, ami csak úgy lehet, ha

b

páros. (2)-nek a

\begin{matrix} (3^{b / 2} - 1) (3^{b / 2} + 1) = 2^{a} \end{matrix}

alakjából látható, hogy a bal oldalon álló két tényező mindegyike 2 pozitív egész kitevőjű hatványa, különbségük pedig 2. Ez csak

3^{b / 2} - 1 = 2

3^{b / 2} + 1 = 4

esetben lehetséges, amiből

a = 3, b = 2

adódik.
A (3) egyenletben

a \geq 1

, különben a bal oldal nem lenne pozitív. Az

a = 1

b = 0

megoldás. Ha

a \geq 2

, akkor

b \geq 1

, azaz a bal oldal 3-mal osztható, ami csak úgy lehet, ha

a

páros. (3)-nak

\begin{matrix} (2^{a / 2} - 1) (2^{a / 2} + 1) = 3^{b} \end{matrix}

alakjából látható, hogy a bal oldalon szereplő két tényező mindegyike 3-hatvány, különbségük pedig 2. Ez viszont csak a

2^{a / 2} - 1 = 1

2^{a / 2} + 1 = 3

esetben lehetséges, amiből

a = 2

b = 1

adódik.
Térjünk most rá a feladat megoldására. Az (1) egyenlet a következő alakban írható:

\begin{matrix} (p^{x} - 1) (p^{x} + 1) = g^{y} \cdot r^{z} . \end{matrix}

Mivel

p^{x} - 1

osztható

(p - 1)

-gyel és aszerint, hogy

x

páros vagy páratlan,

p^{x} - 1

vagy

p^{x} + 1

osztható

(p + 1)

-gyel,

q^{y} \cdot r^{z}

osztható

(p - 1)

-gyel és

(p + 1)

-gyel is.
A továbbiakban három esetet különböztetünk meg.

1

. Ha

p = 2

, akkor

q^{y} \cdot r^{z}

osztható 3-mal,

q

vagy

r

tehát 3. Mivel

q^{y}

és

r^{z}

felcserélhetők, legyen

q = 3

. Ekkor (1) a következő alakot ölti:

\begin{matrix} (2^{x} - 1) (2^{x} + 1) = 3^{y} \cdot r^{z} . \end{matrix}

A bal oldalon álló tényezők különbsége 2 és páratlanok, tehát relatív prímek. Így közülük az egyik osztható 3-mal, és

2^{x} - 1 \neq 1

, miatt a másik

r

-rel. Ezért

vagy

2^{x} - 1 = 3^{y}

és

2^{x} + 1 = r^{z}

,
vagy

2^{x} - 1 = r^{2}

és

2^{x} + 1 = 3^{y}

A (3) egyenlet megoldásai alapján az első esetben

x = 1

y = 0

r = 3

z = 1

, ami nem megoldás, vagy

x = 2

y = 1

r = 5

z = 1

A második esetben (2) megoldásai alapján

x = 1

y = 1

r = 1

, ami nem megoldás, vagy

x = 3

y = 2

r = 7

z = 1

2. Ha

p = 3

, akkor

q^{y} \cdot r^{z}

páros, tehát

q

és

r

közül legalább az egyik 2. Legyen

q = 2

. Ekkor (1) a következő alakot ölti:

\begin{matrix} (3^{x} - 1) (3^{x} + 1) = 2^{y} \cdot r^{z} . \end{matrix}

r

a bal oldalon álló tényezőknek közös osztója, akkor

r = 2

. Ez esetben

\begin{matrix} 2^{y + z} + 1 = 3^{2 x} . \end{matrix}

A (2) megoldása szerint, mivel

2 x = 1

nem lehet,

2 x = 2

y + z = 3

. Ebből

x = 1

és

y = 1

z = 2

, vagy

y = 2

z = 1

. Ha

r \neq 2

, akkor

r

-rel a bal oldalon álló kifejezésnek csak egyik tényezője osztható, ezért

vagy

3^{x} - 1 = 2^{t}

és

3^{x} + 1 = 2^{y - t} \cdot r^{z}

,
vagy

3^{x} + 1 = 2^{s}

és

3^{x} - 1 = 2^{y - s} \cdot r^{z}

(

t

és

s

y

-nál kisebb pozitív egész számok.) Az első esetben (2) alapján a

\begin{matrix} t = 3, x = 2, y = 4, r = 5, z = 1 \end{matrix}

megoldást kapjuk. A

t = 1

x = 1

lehetőség most kizárt, mert belőle

r = 2

adódna. A második esetben (3) megoldásai szerint vagy

s = 1

x = 0

, vagy

s = 2

x = 1

, amiből

r = 2

következik, ezért itt ezek sem jöhetnek számításba.

3. Végül ha

p > 3

, akkor mivel

p

prímszám,

p + 1

és

p - 1

páros számok és egyikük 3-mal is osztható. Ezért

g^{y} \cdot r^{z}

osztható 2-vel és 3-mal is, vagyis

q

és

r

közül az egyik 2, a másik 3, legyen

q = 2

r = 3

.
Ekkor (1) a következő alakot ölti:

\begin{matrix} (p^{x} - 1) (p^{x} + 1) = 2^{y} \cdot 3^{z} . \end{matrix}

Nem lehet osztható a bal oldal mindkét tényezője sem 3-mal, sem 4-gyel, mivel szomszédos páros számok. Ezért (és

p > 3

miatt) két eset lehetséges:

vagy

p^{x} - 1 = 2 \cdot 3^{z}

és

p^{x} + 1 = 2^{y - 1},

vagy

p^{x} - 1 = 2^{y - 1}

és

p^{x} + 1 = 2 \cdot 3^{z}

Az első esetben a két egyenletet egymásból kivonva és 2-vel egyszerűsítve a (3) típusú

\begin{matrix} 2^{y - 2} - 1 = 3^{z} \end{matrix}

egyenletet kapjuk, amelynek egyetlen természetes számokból álló megoldása

y = 4

z = 1

és ezért

p = 7

x = 1

.
A második esetben az előbbihez hasonló módon a (2) típusú

\begin{matrix} 2^{y - 2} + 1 = 3^{z} \end{matrix}

egyenlet adódik, amelyből két megoldást kapunk:

\begin{matrix} y = 3, z = 1, amelyből p = 5, x = 1, \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = 5, z = 2, amelyből p = 17, x = 1. \end{matrix}

Azon kívül, hogy

q^{y}

-t és

r^{z}

-t még minden esetben felcserélhetjük egymással, több lehetőség nincs.

A keresett számok tehát a következők:

\begin{matrix} p & x & q & y & r & z \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 5 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 & 7 & 1 \\ 2 & 3 & 7 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 4 & 5 & 1 \end{matrix}

\begin{matrix} p & x & q & y & r & z \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 17 & 1 & 2 & 5 & 3 & 2 \\ 17 & 1 & 3 & 2 & 2 & 5 \end{matrix}

Megjegyzés. Ha a természetes számok közé a nullát is bevesszük, még a következő megoldásokat kapjuk:

\begin{matrix} p & x & q & y & r & z \\ 2 & 1 & 3 & 1 & tetszőleges & 0 \\ 2 & 1 & tetszőleges & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 3 & tetszőleges & 0 \\ 3 & 1 & tetszőleges & 0 & 2 & 2 \end{matrix}

Ármós Lajos (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)