Kezdőlap


Feladat:	F.2119	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ármós L. , Becze I. , Bene Gy. , Cseri I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Gát Gy. , Hajnal P. , Kamondi Zs. , Lengvárszky Zs. , Lukács 258 Erzsébet , Oláh K. , Pósafalvi A. , Ráth Gy. , Ruisz T. , Spilkó J. , Szabó 284 Sándor , Szegedy M. , Szendrei Gy. , Takács Gabriella , Varga J. , Varga Lívia , Winkler R.
Füzet:	1978/március, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: F.2119

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az elfogadott állítások szerint esetünkben $s < 2$ , illetve $s_{1} < 1$ , ennélfogva $c ≧ 1$ mellett nincs megfelelő $P$ pont. Megmutatjuk viszont, hogy bármely $c < 1$ számhoz található olyan $P$ , amelyre egyidejűen $s > 2 c$ és $s_{1} > c$ .

Ha egy

c_{0}

számhoz találtunk ilyen

P

pontot, ez a pont nyilvánvalóan megfelel minden kisebb

c

szám, azaz

c < c_{0}

esetére is. Ezért bizonyításunkban elég olyan

c_{0}

-ra gondolnunk, amely kicsiny

ε > 0

hiányt mutat az

1

-hez képest, vagyis

1 - c_{0} = ε

c_{0} = 1 - ε

.
Mérjünk föl egy

d (< 1)

szakaszt

A

-tóI

C

felé, valamint

C

-től

B

felé, és tekintsük az

A A_{1}

B B_{1}

szakaszok

P^{*}

metszéspontját (ami nyilvánvalóan belső pontja az

A B C

háromszögnek). Azt mutatjuk meg, hogy lehet

d

-t úgy választani, hogy

P^{*}

-ra teljesüljön

\frac{s}{2} > c_{0}

és

s_{1} > c_{0}

. Az

A B C

háromszög három szimmetriatengelye alapján elég eleve a

d ≦ \frac{1}{2}

értékekre szorítkoznunk.

1.) Az

A_{1} A C

háromszögben a háromszög-egyenlőtlenség alapján

A_{1} A > A C - A_{1} C = 1 - d

. Az

A_{1} A C

és

B_{1} B A

háromszögek egybevágók és a

{B_{1} A P}^{*}

háromszög hasonló hozzájuk, mert szögeik páronként egyenlők, így

\begin{matrix} \frac{A P^{*}}{A C} = \frac{A B_{1}}{A A_{1}} = \frac{d}{A A_{1}} < \frac{d}{1 - d} = \frac{2 d}{2 - 2 d} < 2 d, \end{matrix}

azaz

{A P}^{*} < 2 d

. Így a

P^{*}

pontra (

C_{1}

-nek

A B

-ből

{C P}^{*}

-gal való kimetszése után)

\begin{matrix} s_{1} = P^{*} A_{1} + P^{*} B_{1} + P^{*} C_{1} > P^{*} A_{1} = A A_{1} - {A P}^{*} > (1 - d) - {A P}^{*} > (1 - d) - 2 d = \\ = 1 - 3 d . \end{matrix}

tehát

s_{1} > c_{0} = 1 - ε

teljesüléséhez elegendő, ha

1 - 3 d > 1 - ε

azaz

d < \frac{ε}{3}

2.) Most már a

P^{*} A B

és a

P^{*} A C

háromszögekből

P^{*} B > B A - P^{*} A > 1 - 2 d

, illetve

P^{*} B > 1 - 2 d

, ennélfogva

P^{*}

-ra

s = P^{*} A + P^{*} B + P^{*} C > P^{*} B + P^{*} C > 2 - 4 d

, tehát

\frac{s}{2} > 1 - 2 d > c_{0} = 1 - ε

teljesüléséhez elegendő, ha

d < \frac{ε}{2}

. ‐ Az

s_{1}

esetében a mostaninál erősebb korlátozást kaptunk

d

-re, tehát ha

\frac{ε}{2}

-nél kisebb

d

-vel jelöljük ki

A_{1}

-et és

B_{1}

-et, akkor a fönti

P^{*}

-ra mindkét követelmény teljesül,

P^{*}

megfelel a keresett

P

céljára. ‐ Ezzel bebizonyítottuk állításunkat, a kérdéses

c

számok azok, amelyekre

c < 1

Megjegyzések. 1. Nagyon durva elhanyagolásokat végeztünk becsléseinkben ‐ persze mindig a megfelelő irányban ‐, de célunkra ez is elegendő volt.
2. Nem volt szükség annak belátására, hogy szabályos háromszögben bármely belső

P

pontra az

A A_{1}

B B_{1}

C C_{1}

szakaszok kisebbek

1

-nél.