|
Feladat: |
F.2119 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Ármós L. , Becze I. , Bene Gy. , Cseri I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Gát Gy. , Hajnal P. , Kamondi Zs. , Lengvárszky Zs. , Lukács 258 Erzsébet , Oláh K. , Pósafalvi A. , Ráth Gy. , Ruisz T. , Spilkó J. , Szabó 284 Sándor , Szegedy M. , Szendrei Gy. , Takács Gabriella , Varga J. , Varga Lívia , Winkler R. |
Füzet: |
1978/március,
104 - 105. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/november: F.2119 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az elfogadott állítások szerint esetünkben , illetve , ennélfogva mellett nincs megfelelő pont. Megmutatjuk viszont, hogy bármely számhoz található olyan , amelyre egyidejűen és .
Ha egy számhoz találtunk ilyen pontot, ez a pont nyilvánvalóan megfelel minden kisebb szám, azaz esetére is. Ezért bizonyításunkban elég olyan -ra gondolnunk, amely kicsiny hiányt mutat az -hez képest, vagyis , . Mérjünk föl egy szakaszt -tóI felé, valamint -től felé, és tekintsük az , szakaszok metszéspontját (ami nyilvánvalóan belső pontja az háromszögnek). Azt mutatjuk meg, hogy lehet -t úgy választani, hogy -ra teljesüljön és . Az háromszög három szimmetriatengelye alapján elég eleve a értékekre szorítkoznunk. 1.) Az háromszögben a háromszög-egyenlőtlenség alapján . Az és háromszögek egybevágók és a háromszög hasonló hozzájuk, mert szögeik páronként egyenlők, így | | azaz . Így a pontra (-nek -ből -gal való kimetszése után)
tehát teljesüléséhez elegendő, ha azaz . 2.) Most már a és a háromszögekből , illetve , ennélfogva -ra , tehát teljesüléséhez elegendő, ha . ‐ Az esetében a mostaninál erősebb korlátozást kaptunk -re, tehát ha -nél kisebb -vel jelöljük ki -et és -et, akkor a fönti -ra mindkét követelmény teljesül, megfelel a keresett céljára. ‐ Ezzel bebizonyítottuk állításunkat, a kérdéses számok azok, amelyekre .
Megjegyzések. 1. Nagyon durva elhanyagolásokat végeztünk becsléseinkben ‐ persze mindig a megfelelő irányban ‐, de célunkra ez is elegendő volt. 2. Nem volt szükség annak belátására, hogy szabályos háromszögben bármely belső pontra az , , szakaszok kisebbek -nél.
|
|