A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Néhány próba alapján ezt sejtjük: olyan két átló összege egyenlő egy harmadikkal, amelyek közti szög . (ti. ha a két átlót a szabályos -szög egy csúcsából a két ellentétes körüljárási irányban választjuk meg, "lokalizáljuk''). Ezt fogjuk bizonyítani.
Legyen az háromszögben a -nél levő szög , továbbá , az oldal -n túli meghosszabbításán az a pont, amelyre , végül tükörképe az egyenesre . Ekkor a háromszög egyenlő oldalú, ezért egyrészt ; tehát az négyszög húrnégyszög, rajta van az háromszög körülírt körén, másrészt . Megmutatjuk, hogy a szabályos -szög csúcsai közül lehet kiválasztani olyan négyet, amelyeknek átadhatjuk az előbbi , , és pont szerepét. Nyilvánvalóan megfelel az , választás, mert így a rövidebbik ívhez tartozó középponti szög , a hosszabbik ívhez tartozó középponti szög , így a rövidebb ív minden belső pontjára . Itt szerepére alkalmas minden olyan csúcs, amely nem szomszédos sem -lal, sem -val, azaz amelyekre és , vagyis amelyekre . Ilyen sokszögcsúcs van, ha , azaz , továbbá ekkor is sokszögcsúcs, hiszen tükörképe a sugárra. Feladatunk a reláció bizonyítása volt. A esetben két egyenlő hosszú átló összege egyenlő az átlóval. Az állítás -re tulajdonképpen ezt mondja: van kétféle olyan átlóhosszúság, amely ...; hiszen természetes, hogy szabályos sokszögben mindenféle átlóhosszúság annyi példányban van meg, mint az oldalak száma ‐ nyilvánvalóan kivéve a páros oldalszámú sokszög leghosszabb átlóit, átmérőit: , amelyekből csak példány van.
Megjegyzések. 1. A megfelelő átlópárokat csak egyszer kapjuk meg, ha , tehát számuk . 2. Lényegben ugyanez a bizonyítás, ha arra hivatkozunk, hogy a szabályos háromszög köré írt kör bármely pontjára a , , szakaszok közül a két kisebb együttvéve egyenlő a legnagyobbikkal. 3. Több dolgozat használta fel Ptolemaiosz (I.) tételét (konvex húrnégyszög átlóinak szorzata egyenlő a két-két szemben fekvő oldalból képezett szorzatok összegével). 4. Bizonyítható az állítás goniometriai úton is, annak fölhasználásával, hogy a szabályos szög átlójára | |
|