Kezdőlap


Feladat:	F.2116	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Mala József
Füzet:	1978/március, 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: F.2116

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét egyenlőtlenség bizonyításához a számtani és a mértani közép közötti összefüggést használjuk fel. Először a $\frac{2}{1}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{3}$ , $...$ , $\frac{n + 1}{n}$ számok számtani, ill. mértani közepét írjuk fel:

\begin{matrix} \sqrt[n]{n + 1} ≦ \frac{\frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{n + 1}{n}}{n} = 1 + \frac{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}}{n}, \end{matrix}

(2)

amiből (1) első fele azonnal adódik. Valamennyi tag különböző, egyenlőség nem állhat fenn, tehát valamivel többet sikerült belátni, mint amit a feladat megkívánt.
A második egyenlőtlenséghez az

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

...

\frac{n - 1}{n}

számok számtani, ill. mértani közepére van szükségünk:

\begin{matrix} \sqrt[n - 1]{\frac{1}{n}} ≦ \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + ... + \frac{n - 1}{n}}{n - 1} = \frac{n - (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n})}{n - 1}, \end{matrix}

(3)

amiből

(1)

másik felét kapjuk.

n = 2

esetben

(3)

jobb oldalán egyetlen tag szerepel, egyenlőség áll fenn.

n ≧ 3

esetén valamennyi tag különböző, határozott egyenlőtlenség teljesül.

Mala József (Cegléd, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)