Kezdőlap


Feladat:	F.2114	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1978/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, Térfogat, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: F.2114

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hasábjaink szokás szerinti alaplapjai a beállítások szerint függőlegesek, nevezzük ezeket tűzfalaknak, és ezt a hasonlatot folytatva, a felső két-két lapot tetőlapnak. Egyik hasábunk $V_{h}$ térfogatát $2$ -szer véve, annyival kapunk többet a keresett $V$ térfogatnál, amennyi annak a magtestnek a $V_{m}$ térfogata, amely a hasáb mindkét helyzetén belül van, ezért (1‐2. ábra)

\begin{matrix} V = 2 V_{h} - V_{m} . \end{matrix}

A magtest közte van mind a négy tűzfalnak és alatta van mind a négy tetőlapnak, felbontható egy

A B C D

alapú (egyenes) hasábra és egy szabályos négyoldalú gúlára, melynek főcsúcsa a két tetőgerinc-él közös felezőpontja (az alaplap középpontja fölött).
Egyszerűen adódik, hogy

\begin{matrix} V_{h} = \frac{5}{4} tg 54^{\circ} = 1, 7205 térfogategység . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

3. ábra

A mondott hasáb oldallapja a tűzfalba beírt téglalap (

3

. ábra), magassága a sinustétel alapján

\begin{matrix} m = \frac{sin 108^{\circ}}{sin 54^{\circ}} = 2 cos 54^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} = 1, 1756, \end{matrix}

a gúla magassága pedig

M - m

, ahol

M

a tűzfal szimmetriatengelye,

\begin{matrix} M = \frac{1}{2} tg 72^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}} = 1, 5388, \end{matrix}

és ezekből

\begin{matrix} V_{m} = m + \frac{1}{3} (M - m) = \frac{2 m + M}{3} = 1, 2967. \end{matrix}

Végül mindezekből

\begin{matrix} V = 2, 144 térfogategység . \end{matrix}

Megjegyzés. Felhasználtuk, hogy

sin 18^{\circ} = (\sqrt[]{5} - 1) / 4

, és ebből a táblázattól függetlenül megkapható mindegyik felhasznált szögfüggvény számkifejezése.