Kezdőlap


Feladat:	F.2111	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: F.2111

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt állítjuk, hogy nem lehet. Ha ugyanis volna ilyen mértani sorozat, akkor $\sqrt[]{2} < \sqrt[]{3} < \sqrt[]{5}$ miatt feltehetnénk, hogy a sorozat első tagja $\sqrt[]{2}$ , $(n + 1)$ -edik tagja $\sqrt[]{3}$ és $(m + 1)$ -edik tagja $\sqrt[]{5}$ , ahol $1 < n < m$ . Legyen a sorozat hányadosa $q$ , ekkor

\begin{matrix} \sqrt[]{3} = q^{n} \cdot \sqrt[]{2} és \sqrt[]{5} = q^{m} \cdot \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Az első egyenletet a

2 m

-edik, a másodikat a

2 n

-edik hatványra emelve, majd

q

-t kiküszöbölve:

\begin{matrix} 3^{m} = q^{2 m n} \cdot 2^{m} = (q^{2 m n} \cdot 2^{n}) \cdot 2^{m - n} = 5^{n} \cdot 2^{m - n} . \end{matrix}

A kapott egyenlőség-sorozat elején és végén egész számok állnak, a szereplő kitevők a feltétel szerint mind pozitívak. Ez az egyenlőség azonban nem állhat fenn, hiszen például a bal oldalon páratlan szám áll, a jobb oldalon pedig páros. Ellentmondásra jutottunk, ami éppen az állításunkat bizonyítja.