Kezdőlap


Feladat:	F.2106	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: F.2106

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a beírt, körülírt kör középpontját $O$ -val, $K$ -val, $B C$ felezőpontját $A_{1}$ -gyel, $O$ -nak $B C$ -n levő vetületét $A_{2}$ -vel, $A O$ -nak $B C$ -vel és a körülírt körrel alkotott metszéspontját $A_{3}$ -mal, $D$ -vel, $D$ átellenes pontját $E$ -vel. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} B D = O D = C D, \end{matrix}

hiszen például a

B O D

szög is és az

O B D

szög is egyenlő az

A B C

háromszög

A

-beli és

B

-beli szögei összegének a felével. Feltehetjük, hogy

A B < A C

, ekkor

A_{3}

A_{1} B

A_{2}

A_{3} B

szakaszon van. Pitagorasz tétele alapján

\begin{matrix} O D^{2} = A_{1} A_{2}^{2} + {(O A_{2} + A_{1} D)}^{2}, \end{matrix}

így

O D = B D

felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{1} A_{2}^{2} = B D^{2} - A_{1} D^{2} - 2 A_{1} D \cdot O A_{2} - O A_{2}^{2} = \frac{a^{2}}{4} - 2 r d - r^{2} \end{matrix}

ahol

d = A_{1} D

\begin{matrix} 4 d (2 R - d) = a^{2}, \end{matrix}

(1)

egyenlet megoldása, ami viszont a húrszeletekre vonatkozó

A_{1} D \cdot A_{1} E = A_{1} B \cdot A_{1} C

összefüggésből következik.

Ismeretes, hogy

B A_{2} = \frac{1}{2} (a - b + c)

, ahol

b

c

A C

A B

szakaszok hosszát jelöli, emiatt

A_{1} A_{2} = \frac{1}{2} (b - c)

. Vezessük be az

\begin{matrix} e^{2} = a^{2} - 4 r (2 d + r) \end{matrix}

(2)

jelölést, ezzel a fenti eredményünk így írható:

\begin{matrix} b - c = e . \end{matrix}

(3)

Jelöljük még

2 A_{1} A_{3}

-at

x

-szel, akkor

b : c = A_{3} C : A_{3} B

miatt

\begin{matrix} b : c = (a + x) : (a - x) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (b - c) : x = (b + c) : a . \end{matrix}

Az aránypár első tagja az

A_{3} A_{2} O

A_{3} A_{1} D

háromszögek hasonlósága alapján meghatározható:

\begin{matrix} A_{1} A_{3} : A_{3} A_{2} = d : r, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x : (b - c) = d : (r + d) . \end{matrix}

Ezek szerint

\begin{matrix} b + c = \frac{a (r + d)}{d}, \end{matrix}

ahonnan (3) alapján kapjuk, hogy

\begin{matrix} b = \frac{1}{2} (\frac{a r}{d} + a + e), c = \frac{1}{2} (\frac{a r}{d} + a - e) \end{matrix}

(4)

A keresett háromszög oldalait tehát (4) határozza meg a

b > c

feltétel mellett; ha ezt a feltételt elhagyjuk,

b

c

szerepe természetesen felcserélhető. A (4)-ben szereplő

d

az (1) egyenlet gyöke. Ebből

e

-t (2) alapján kapjuk, feltéve, hogy (2) jobb oldalán pozitív szám áll. A lehetséges megoldások száma tehát

0

és

4

között tetszőleges szám lehet.
A mondott numerikus esetben (1) a

\begin{matrix} d^{2} - 130 d + 39^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet jelenti, ahonnan

d_{1} = 13

d_{2} = 117

. Ennek megfelelően (2) alapján

\begin{matrix} e_{1}^{2} = 78^{2} - 4 \cdot 28 \cdot 54 = 36, \end{matrix}

és

e_{2}^{2}

-re negatív érték adódik. Végül (4)-ból kapjuk, hogy

\begin{matrix} b_{1} = 126, c_{1} = 120. \end{matrix}

Megjegyzés. A kitűzésben

a

értéke sajtóhiba miatt

79

-nek volt megadva (az orosz és angol fordításban a helyes szöveg szerepelt). Ebből a

b_{1} = 127, 4

, és

c_{1} - 117, 0

értékeket kapjuk (

e_{2}^{2}

itt is negatív).