Feladat: F.2103 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kókai László ,  Marosi István 
Füzet: 1978/január, 7. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Számhalmazok, Indirekt bizonyítási mód, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/szeptember: F.2103

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Haladjunk sorban 1-től kezdve a számegyenesen, és a természetes számokat tegyük be abba a halmazba, amelyikbe tudjuk úgy, hogy a feladat állítása továbbra is teljesüljön. Egy számot csak egy halmazba tegyünk (ha mindkettőbe tehetnénk, akkor mindegy, melyikbe), és minden számot tegyünk valahová. Legyen a következő szám, amit el próbálunk helyezni, k. Ha k-t nem tudjuk A-ba tenni, akkor van olyan a∈A, amelyre k/a=r; (a/k nem lehet egyenlő r-rel, hiszen a<k és r>1). Ha k-t nem tudjuk B-he sem betenni, akkor van b∈B, amelyre k/b=r. De ekkor a=k/r=b; ellentmondásra jutottunk, mivel a két halmaznak nincs közös eleme. Ez azt jelenti, hogy k-t legalább az egyik halmazba be tudjuk tenni.
Ezzel a természetes számokat a feladat feltétele szerinti két részre felosztottuk.
 Marosi István (Eger,Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)

 

II. megoldás. Mivel r racionális szám, felírható két egész szám hányadosaként. Legyen r=pq, ahol p>q≥1 relatív prímszámok, vagyis pq az r-nek tovább nem egyszerűsíthető alakja.
Bármely természetes szám egyértelműen felírható spkqm alakban, ahol s sem p-vel, sem q-val nem osztható természetes szám, k és m nem negatív egész számok. (q=1 esetén q-t nem szerepeltetjük.)
Tegyük az A-ba azokat a természetes számokat, amelyeknek fenti alakjában p kitevője páros szám, a B-be pedig azokat, amelyeknél p kitevője páratlan. Ha r=N/n, ahol N=SpKqM és n=spkqm, akkor S=s és K=k+1, M=m-1, tehát k és K közül az egyik páros, a másik páratlan, így n és N különböző halmazokba kerültek.