Kezdőlap


Feladat:	F.2100	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Blázsik Z. , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Fordán T. , Frank J. , Hajnal P. , Horváth 619 Miklós , Hülber E. , Ivanyos G. , Jekkel P. , Knébel I. , Koncz K. , Laczkó M. , Lenkei P. , Pósafalvi A. , Révész T. , Spilkó J. , Szalkai I. , Székely Z. , Tóth 695 István , Tóth Cs. , Vágvölgyi Sándor
Füzet:	1977/november, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: F.2100

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $B C$ , $B_{0} C_{0}$ szakaszok felezőpontját $A_{0}$ -lal, $F$ -fel, az utóbbi felező merőlegesét $f$ -fel, az $A B_{0} C_{0}$ háromszög köré írt kört $k$ -val. Az $A F$ egyenes $k$ -t másodszor $F$ -en túli darabján metszi, ezt a metszéspontot jelöljük $M_{0}$ -lal, $M_{0}$ -nak $f$ -re vonatkozó tükörképét (ami szintén $k$ -n van) $M_{1}$ -gyel. Az $A A_{0} A_{1}$ háromszögben $A_{1}$ -nél derékszög van, $F$ az $A A_{0}$ átfogó felezőpontja, $f$ tehát az $A_{0} A_{1}$ szakasznak is felező merőlegese, így $M_{1}$ rajta van az $A_{1} F$ egyenesen. Megmutatjuk, hogy $M_{1}$ az $A_{1} B_{0} C$ háromszög köré írt körön is, az $A_{1} C_{0} B$ háromszög köré írt körön is rajta van, ezzel feladatunknak mindkét állítását belátjuk.
Mivel $B$ és $C$ szerepe eddig még szimmetrikus volt, elég belátnunk például, hogy a $B$ , $A_{1}$ , $C_{0}$ , $M_{1}$ pontok egy körön vannak. A $k$ körben az $M_{0}$ , $C_{0}$ pontok az $A B_{0}$ húrnak ugyanazon az oldalán vannak, ezért belőlük ez a húr egyenlő szögek alatt látszik:

\begin{matrix} A C_{0} B_{0} ∢ = A M_{0} B_{0} ∢ . \end{matrix}

Itt az első egyenlő az

A B C

szöggel, a második a

C_{0} M_{1} F

szöggel.

1. ábra

Ha tehát

A B C

hegyesszögű háromszög (1. ábra), készen is vagyunk, hiszen ekkor

A_{1}

B C

M_{1}

pedig az

A_{1} F

szakaszon van, és

C_{0} M_{1} F

épp a konvex

B A_{1} M_{1} C_{0}

négyszög

B

-vel szemközi csúcsánál levő külső szöge.

2. ábra

Ha az

A B C

háromszögben

A

-nál

90^{\circ}

-os, vagy annál nagyobb szög van (2. ábra),

M_{1}

azonos

A_{1}

-gyel, vagy

A_{1} F

-nek

A_{1}

-en túli meghosszabbításán van, és

A_{1}

továbbra is a

B C

szakaszon van. Ekkor tehát

B

és

M_{1}

A_{1} C_{0}

egyenesnek ugyanazon az oldalán vannak, és belőlük az

A_{1} C_{0}

szakasz egyenlő szögek alatt látszik.

3. ábra

Ugyanez igaz, ha a

B

-nél levő szög nagyobb

90^{\circ}

-nál (3. ábra), csak most azért, mert ezek a szögek az

A B C

C_{0} M_{1} F

szögek mellékszögei. (Ha

A B C ∢ = 90^{\circ}

A_{1}

azonos

B

-vel, állításunk nyilvánvaló.)

4. ábra

Végül, ha

A C B ∢ ≧ 90^{\circ}

, a

B A_{1} M_{1} C_{0}

négyszög pontosan azért húrnégyszög, mint az első esetben (4. ábra).

Megjegyzés. Elkerülhettük volna a négy eset külön vizsgálatát a forgásszögek felhasználásával. Azért választottuk most mégis az esetek szétválasztását, hogy megmutassuk, bizonyításunk alapgondolata olyan egyszerű, hogy még az összes eset sorravétele sem nagy munka mellette.