Kezdőlap


Feladat:	F.2095	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Csikós B. , Erdélyi T. , Filakovszky B. , Horváth M. , Huk J. , Ivanyos G. , Knébel I. , Laszip A. , Lenkei P. , Lukács Erzsébet , Molnár Marianna , Pósafalvi A. , Spilkó J. , Szabó K. , Szalkai I. , Székely Z. , Tóth Cs. , Vándor T. , Varsányi J.
Füzet:	1977/november, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: F.2095

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a két kör érintési pontját $T$ -vel, a háromszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ -vel, a körök sugarát $R$ -rel, $r$ -rel $(R > r)$ . A $T$ -beli érintkezés miatt a kisebbik kör a nagyobbiktól $T$ centrumú, $r / R$ arányú hasonlósággal kapható. Vigye ez a hasonlóság az $A$ , $B$ , $C$ pontokat, az $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ pontokba, ezek rendre a $T A$ , $T B$ , $T C$ egyeneseknek a kisebbik körrel alkotott második metszéspontjai. (Szokás szerint egy kör két pontja által meghatározott egyenesen a pontok azonossága esetén az érintőt értjük.)

Így tehát a mondott érintők

a

b

c

hosszára rendre

\begin{matrix} a^{2} = T A \cdot A A_{1} = T A (T A - T A_{1}) = (1 - \frac{r}{R}) T A^{2}, \\ b^{2} = T B \cdot B B_{1} = (1 - \frac{r}{R}) T B^{2}, \\ c^{2} = T C \cdot C C_{1} = (1 - \frac{r}{R}) T C^{2} \end{matrix}

teljesül. Emiatt elég megmutatnunk, hogy a feladat állítása az

a

b

c

szakaszok helyett a

T A

T B

T C

szakaszokra igaz.
Ez viszont közismerten következik abból, hogy ha pl.

T

A B

íven van, akkor

A

körüli

60^{\circ}

-os forgatással a

T B

szakasz abba a

D C

szakaszba megy át, melyre

A D T

szabályos háromszög, és

D

C T

szakaszon van. Emiatt

C T = C D + D T = B T + A T

, amint azt bizonyítani akartuk. (Ha

T

azonos

A

-val, állításunk nyilvánvaló.)