Kezdőlap


Feladat:	F.2094	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Baksai R. , Balázs I. J. , Benkő T. , Bukta Gy. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Filakovszky P. , Hajnal P. , Homonnay G. , Knébel I. , Koncz K. , Lenkei P. , Rausch B. , Révész T. , Tóth Cs. , Varsányi J.
Füzet:	1978/február, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Beírt kör, Terület, felszín, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: F.2094

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdés eldöntéséhez szükséges három egyező menetű számítást általában készítjük elő. Legyen az $A B C$ háromszögben a szokásos jelölések mellett $c > b$ , és számítsuk ki az $O$ középpontnak az $A A_{0} = s_{a}$ súlyvonaltól mért $d_{a}$ távolságát.

Így az

A

-beli szögfelező az

A_{0} C

szakaszon lép ki, tehát

O

A C A_{0}

háromszögben van, első két oldalától

ϱ = \frac{2 t}{a + b + c}

távolságra. Felírjuk az

A C A_{0}

háromszög

\frac{t}{2}

területét az

O A

O C

O A_{0}

szakaszokkal való felbontás alapján:

\begin{matrix} (b + \frac{a}{2}) \frac{ϱ}{2} + \frac{s_{a} d_{a}}{2} = \frac{t}{2} = (a + b + c) \frac{ϱ}{4}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} d_{a} = ϱ \cdot \frac{c - b}{2 s_{a}} . \end{matrix}

Ugyanígy, ha még

a < b

, akkor

O

-nak az

s_{b}

s_{c}

súlyvonaltól vett távolsága

\begin{matrix} d_{b} = ϱ \cdot \frac{c - a}{2 s_{b}}, d_{c} = ϱ \cdot \frac{b - a}{2 s_{c}} . \end{matrix}

A súlyvonal hosszára, az

A_{0}

-ra való tükrözés útján kapott

A B A' C

paralelogrammából

\begin{matrix} 4 s_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2} = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 3 a^{2}, \end{matrix}

a másik két súlyvonal esetében pedig levonandónak

3 b^{2}

-et,

3 c^{2}

-et veszünk.
A számpéldában legyen sorra

a = 4

b = 5

c = 8

, így

4 s_{a}^{2} = 162

4 s_{b}^{2} = 135

4 s_{c}^{2} = 18

. A

d_{a}

d_{b}

d_{c}

távolságok helyett könnyebb a négyzeteiket összehasonlítani, másrészt célszerű a közös

ϱ^{2}

tényezőt elhagyni, hiszen így a nagyságviszonyok változatlanok maradnak:

\begin{matrix} {(\frac{d_{a}}{ϱ})}^{2} = \frac{{(c - b)}^{2}}{4 s_{a}^{2}} = \frac{9}{162} = \frac{1}{18}, {(\frac{d_{b}}{ϱ})}^{2} = \frac{16}{135} = \frac{32}{15} \cdot \frac{1}{18}, {(\frac{d_{c}}{ϱ})}^{2} = \frac{1}{18} . \end{matrix}

Ezek szerint

O

s_{a}

és

s_{c}

súlyvonalaktól egyenlő távolságra és

s_{b}

-től távolabb van.

Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy a

d_{a} = d_{c}

egyenlőség föltétele: az oldalakra teljesüljön

4 b^{2} - 3 (a + c) b + (a^{2} + c^{2}) = 0

. Alkalmasan megválasztott

a

és

c

mellett az egyik

b

gyökkel

d_{b} > d_{a}

, a másikkal

d_{b} < d_{a}

. ‐ Ha

t

egész szám, akkor az

\begin{matrix} a = {(t - 2)}^{2} + 7, c = t^{2} + 7, b_{1} = {(t - 1)}^{2} + 4, \\ b_{2} = \frac{{(t - 1)}^{2}}{2} + 8 \end{matrix}

képlethármasok egész oldalmérőszámokkal adnak ilyen háromszögeket (kivéve esetleg

b_{2}

-t).