|
Feladat: |
F.2093 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Benkő T. , Blázsik Z. , Bukta Gy. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Frank J. , Gubics J. , Hajnal P. , Horváth 619 M. , Jaskó E. , Knébel I. , Koncz K. , Kornis F. , Laszip A. , Lenkei P. , Lukács 258 E. , Mészáros J. , Rapai T. , Sali A. , Székely Z. , Szendrei Gy. , Tóth B. , Tóth Cs. , Zádori L. , Zempléni A. |
Füzet: |
1978/február,
57 - 59. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Irracionális egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/április: F.2093 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emeljük hatodik hatványra két oldalát: Ha teljesül, is igaz, hiszen jobb oldalán nem negatív szám áll. Megfordítva ez ugyan nem feltétlenül igaz, ezt a kérdést azonban célszerűbb akkor megvizsgálni, ha már tudjuk, milyen számokra teljesül . A műveleteket elvégezve -ből az | | egyenlőtlenséget kapjuk. Mivel itt mellett a bal oldal értéke , az osztható -nal: | | Még mindig kiemelhetünk -t: | |
Megkönnyíti a második tényező szorzattá alakítását, ha azt alakban írjuk fel. Ha ugyanis , a egyenlet gyökei, akkor tetszőleges , mellett | | Emiatt | | Mivel | | itt az első tényező mindig nem negatív (akármilyen is előjele), így elég a második tényezőt szorzattá alakítani. A egyenlet gyöktényezős alakja alapján végül is a teljes szorzattá alakítás eredménye: | |
Az utolsó két tényező az , koordináta-rendszer egy-egy egyenesén egyenlő -val, és a szorzat akkor pozitív, ha az , pont vagy mindkét egyenes felett van, vagy mindkét egyenes alatt. Itt a másik két tényező is nem negatív, és ahol azok -val egyenlők (, illetve ), az utolsó szorzat ott is nem negatív, összes megoldása tehát vagy a | | (2a) | feltételeknek, vagy a | | (2b) | feltételeknek tesz eleget. A két egyenlőtlenséget mindkét esetben összeadva azt kapjuk, hogy értéke (2a) esetén nem negatív, (2b) esetén nem pozitív.
Mivel és itt a második tényező csak mellett , különben pozitív, előjele megegyezik előjelével. A (2a) esetben tehát nem negatív, ekkor maga után vonja teljesülését. A (2b) esetben nem pozitív, így eleve nem teljesülhet (az esetet kivéve, ami azonban (2a)-ban is benne van). tehát akkor és csakis akkor teljesül, ha az , számpárra teljesül (2a). |
|