Kezdőlap


Feladat:	F.2093	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Benkő T. , Blázsik Z. , Bukta Gy. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Frank J. , Gubics J. , Hajnal P. , Horváth 619 M. , Jaskó E. , Knébel I. , Koncz K. , Kornis F. , Laszip A. , Lenkei P. , Lukács 258 E. , Mészáros J. , Rapai T. , Sali A. , Székely Z. , Szendrei Gy. , Tóth B. , Tóth Cs. , Zádori L. , Zempléni A.
Füzet:	1978/február, 57 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Irracionális egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: F.2093

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük hatodik hatványra $(1)$ két oldalát:

\begin{matrix} 2 {(x^{3} + y^{3})}^{2} \geq {(x^{2} + y^{2})}^{3} \end{matrix}

(2)

(1)

teljesül,

(2)

is igaz, hiszen

(1)

jobb oldalán nem negatív szám áll. Megfordítva ez ugyan nem feltétlenül igaz, ezt a kérdést azonban célszerűbb akkor megvizsgálni, ha már tudjuk, milyen számokra teljesül

(2)

.
A műveleteket elvégezve

(2)

-ből az

\begin{matrix} x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 3 x^{2} y^{4} + y^{6} \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Mivel itt

x = y

mellett a bal oldal értéke

0

, az osztható

(x - y)

-nal:

\begin{matrix} (x - y) (x^{5} + x^{4} y - 2 x^{3} y^{2} + 2 x^{2} y^{3} - x y^{4} - y^{5}) \geq 0. \end{matrix}

Még mindig kiemelhetünk

(x - y)

-t:

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} (x^{4} + 2 x^{3} y + 2 x y^{2} + y^{4}) \geq 0. \end{matrix}

Megkönnyíti a második tényező szorzattá alakítását, ha azt

{(x^{2} + y^{2})}^{2} + 2 x y (x^{2} + y^{2}) - 2 x^{2} y^{2}

alakban írjuk fel. Ha ugyanis

z_{1}

z_{2}

\begin{matrix} z^{2} + 2 z - 2 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei, akkor tetszőleges

A

B

mellett

\begin{matrix} (A + z_{1} B) (A + z_{2} B) = A^{2} + 2 A B - 2 B^{2} . \end{matrix}

Emiatt

\begin{matrix} x^{4} + 2 x^{3} y + 2 x y^{3} + y^{4} = [x^{2} + y^{2} - (\sqrt[]{3} - 1) x y] [x^{2} + y^{2} + (\sqrt[]{3} + 1) x y] . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - (\sqrt[]{3} - 1) x y = {(x + y)}^{2} - (\sqrt[]{3} + 1) x y = {(x - y)}^{2} + (3 - \sqrt[]{3}) x y, \end{matrix}

itt az első tényező mindig nem negatív (akármilyen is

x y

előjele), így elég a második tényezőt szorzattá alakítani. A

\begin{matrix} z^{2} + (\sqrt[]{3} + 1) z + 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyöktényezős alakja alapján végül is a teljes szorzattá alakítás eredménye:

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} [x^{2} + y^{2} - (\sqrt[]{3} - 1) x y] (y + \frac{\sqrt[]{3} + 1 + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}}{2} x) (x + \frac{\sqrt[]{3} + 1 + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}}{2} y) \geq 0. \end{matrix}

Az utolsó két tényező az

x

y

koordináta-rendszer egy-egy egyenesén egyenlő

0

-val, és a szorzat akkor pozitív, ha az

x

y

pont vagy mindkét egyenes felett van, vagy mindkét egyenes alatt. Itt a másik két tényező is nem negatív, és ahol azok

0

-val egyenlők (

x = y

, illetve

x = y = 0

), az utolsó szorzat ott is nem negatív,

(2)

összes megoldása tehát vagy a

\begin{matrix} 2 y + (\sqrt[]{3} + 1 + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}) x \geq 0, 2 x + (\sqrt[]{3} + 1 + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}) y \geq 0 \end{matrix}

(2a)

feltételeknek, vagy a

\begin{matrix} 2 y + (\sqrt[]{3} + 1 + \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}) x \leq 0, 2 x + (\sqrt[]{3} + 1 - \sqrt[]{2 \sqrt[]{3}}) y \leq 0 \end{matrix}

(2b)

feltételeknek tesz eleget. A két egyenlőtlenséget mindkét esetben összeadva azt kapjuk, hogy

x + y

értéke (2a) esetén nem negatív, (2b) esetén nem pozitív.

Mivel

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}), \end{matrix}

és itt a második tényező csak

x = y = 0

mellett

0

, különben pozitív,

x + y

előjele megegyezik

x^{3} + y^{3}

előjelével. A (2a) esetben tehát

x^{3} + y^{3}

nem negatív, ekkor

(2)

maga után vonja

(1)

teljesülését. A (2b) esetben

x^{3} + y^{3}

nem pozitív, így

(1)

eleve nem teljesülhet (az

x = y = 0

esetet kivéve, ami azonban (2a)-ban is benne van).

(1)

tehát akkor és csakis akkor teljesül, ha az

x

y

számpárra teljesül (2a).